阿貝爾範疇

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數學中,阿貝爾範疇(或稱交換範疇)是一個能對態射對象取和,而且上核存在且滿足一定性質的範疇;最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。

定義[编辑]

阿貝爾範疇的公理版本繁多,在此僅取其一(見外部連結)。

一個範疇\mathcal{A}若滿足下述條件,則稱阿貝爾範疇

  1. \mathcal{A}加法範疇
  2. 所有態射皆有上核
  3. 所有態射皆為嚴格態射

只滿足前兩個條件者稱作預阿貝爾範疇

若取k為一交換環,則在上述定義中以k-加法範疇代換加法範疇,便得到k-阿貝爾範疇之定義。

例子[编辑]

  • 如上所述,全體阿貝爾群構成一個阿貝爾範疇Ab,而有限生成阿貝爾群構成的滿子範疇也是阿貝爾範疇,有限阿貝爾群亦同。
  • R為環,則左(或右)R-模範疇構成一個阿貝爾範疇;根據Mitchell嵌入定理,任何小的阿貝爾範疇皆價於某個R-模範疇的一個滿子範疇。
  • 如果R是左諾特環,則有全體有限生成左R-模構成阿貝爾範疇;這是阿貝爾範疇在交換代數中的主要面貌。
  • 由前兩個例子可知:固定一個除環,其上的向量空間成一阿貝爾範疇,有限維向量空間亦同。
  • X拓撲空間,則所有X上的(實或複)向量叢構成阿貝爾範疇。
  • 承上,固定一個阿貝爾範疇\mathcal{A},則取值於\mathcal{A}與預層都構成阿貝爾範疇。這是阿貝爾範疇在代數幾何中的主要面貌。
  • \mathcal{C}小範疇\mathcal{A}為阿貝爾範疇,則所有函子\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{A}構成一個阿貝爾範疇(其態射為自然變換),若更設\mathcal{C}預加法範疇,則所有加法函子\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{A}也構成阿貝爾範疇。這在一方面推廣了空間上預層的例子,一方面也函攝了R-模的例子,因為可視為僅有單個對象的預加法範疇。
  • 拓撲向量空間是預阿貝爾範疇,而非阿貝爾範疇。

基本性質[编辑]

  • 在阿貝爾範疇中,任何態射f皆可分解為單射滿射,其中的滿射稱為f上像,而單射則稱為f。此性質源自公理中對態射嚴格性的要求。
  • 任一態射f單射若且唯若\mathrm{Ker}(f)=0,是滿射若且唯若\mathrm{Coker}(f)=0,是同構若且唯若\mathrm{Ker}(f)=0, \mathrm{Coker}(f)=0
  • 子對象商對象具良好性質。例如:任一對象的子對象構成的偏序集合有界格
  • 任一阿貝爾範疇\mathcal{A}可設想為有限生成阿貝爾群的么半範疇上的;這意謂著我們能構造一個有限生成阿貝爾群G與對象A張量積
  • 承上,阿貝爾範疇也是上模\mathrm{Hom}(G,A)可以詮釋為\mathcal{A}的對象。若\mathcal{A} 完備G的有限生成假設可以移除。

相關概念[编辑]

阿貝爾範疇是同調代數的基本框架,它容許討論同調代數中的基本構造,如正合序列、短正合序列與導函子。

對所有阿貝爾範疇均成立的重要結果包括五引理(含特例短五引理)與蛇引理(含特例九引理)等等。

源流[编辑]

阿貝爾範疇源於亞歷山大·格羅滕迪克知名的東北論文,該論文發表於1950年代,當時存在兩套不同的上同調理論:群上同調與層上同調,兩者性質相近而定義迥異。格羅滕迪克將兩套理論以阿貝爾範疇上的導函子統合:一者是拓撲空間X上的阿貝爾層範疇,一者則是GG-範疇,導出上同調的函子分別是\mathcal{F} \mapsto \Gamma(X, \mathcal{F})M \mapsto M^G

文獻[编辑]

  • P. Freyd. Abelian Categories, Harper and Row, New York, 1964. 可在線閱讀.
  • Alexandre Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique, Tôhoku Mathematics Journal, 1957
  • Barry Mitchell: Theory of Categories, New York, Academic Press, 1965.
  • N. Popescu: Abelian categories with applications to rings and modules, Academic Press, London, 1973.
  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結[编辑]