阿贝尔判别法

维基百科，自由的百科全书

跳转到: 导航, 搜索

阿贝尔判别法是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式，一个是用来判断实数项级数的收敛，另一个是用来判断复数项级数的收敛。

[编辑] 实数项级数的阿贝尔判别法

给定两个实数项数列 ${a n}$ 和 ${b n}$ ，如果数列满足

$\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ 收敛

$\lbrace b_n \rbrace\,$ 是单调的， $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ne \infty$

则级数

$\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n$

收敛。

[编辑] 复数项级数的阿贝尔判别法

一个相关的审敛法，也称为阿贝尔判别法，通常用来判断幂级数在收敛圆的边界上的收敛性。如果

$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,$

而级数

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,$

在|z| < 1是收敛，而在|z| > 1时发散，系数{a_n}是正的实数，当n > m时单调递减并收敛于零，则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛，除了z = 1以外。当z = 1时，不能使用阿贝尔判别法，所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意，利用变量代换ζ = z/R，阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。^[1]

[编辑] 证明

假设z是单位圆上的一个点，z ≠ 1。则

$z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} = 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0$

所以，对于任何两个正整数p > q > m，我们有

$\begin{align} 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & = \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\ & = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] - a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\, \end{align}$

其中S_p和S_q是部分和：

$S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,$

但是，由于|z| = 1，而当n > m时，a_n是单调递减的正实数，我们又有

$\begin{align} \left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & = \left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\ & \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] + \left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\ & = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\ & = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}\, \end{align}$

现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛，因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值，而我们可以通过选择足够大的q，来使a_q+1小于任何给定的ε > 0。

[编辑] 注解

^ (Moretti, 1964, p. 91)

[编辑] 参考文献

Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

[编辑] 外部链接

PlanetMath.org

[_note-0] (Moretti, 1964, p. 91)

[1]