阿贝尔判别法

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无穷级数
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}
无穷级数

阿贝尔判别法是一个用于判断无穷级数是否收敛的方法。阿贝尔判别法有两种不同的形式,一个是用来判断实数项级数的收敛,另一个是用来判断复数项级数的收敛。

实数项级数的阿贝尔判别法[编辑]

给定两个实数数列\{a_n\}\{b_n\},如果数列满足

  •  \sum^{\infty}_{n=1}a_n 收敛

则级数

\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n

收敛。

复数项级数的阿贝尔判别法[编辑]

一个相关的审敛法,也称为阿贝尔判别法,通常用来判断幂级数收敛圆的边界上的收敛性。如果


\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,

而级数


f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,

在|z| < 1是收敛,而在|z| > 1时发散,系数{an}是正的实数,当n > m时单调递减并收敛于零,则f(z)的幂级数在单位圆上处处收敛,除了z = 1以外。当z = 1时,不能使用阿贝尔判别法,所以那个点的收敛性必须另外讨论。注意,利用变量代换ζ = z/R,阿贝尔判别法也可以用来判断收敛半径R ≠ 1的幂级数的收敛性。[1]

证明[编辑]

假设z是单位圆上的一个点,z ≠ 1。则


z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} = 
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0

所以,对于任何两个正整数p > q > m,我们有


\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & = 
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}

其中SpSq是部分和:


S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,

但是,由于|z| = 1,而当n > m时,an是单调递减的正实数,我们又有


\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & = 
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}\,
\end{align}

现在我们可以使用柯西判别法来证明f(z)的幂级数在z ≠ 1时收敛,因为sin(½θ) ≠ 0是一个定值,而我们可以通过选择足够大的q,来使aq+1小于任何给定的ε > 0。

注解[编辑]

  1. ^ (Moretti, 1964, p. 91)

参考文献[编辑]

  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

外部链接[编辑]