阿达马变换

阿达马变换（Hadamard transform），或称沃爾什-阿達瑪轉換，是一种廣義傅立葉變換（Fourier transforms），作为变换编码的一种在视频编码当中使用有很久的历史。在近来的视频编码标准中，阿达马变换多被用来计算SATD(一种视频残差信号大小的衡量)。

在數位信號處理大型積體電路演算法的領域中，阿达马变换是一種簡單且重要的演算法之一，主要能針對頻譜做快速的分析。

变换矩阵

在H.264中使用了4阶和8阶的阿达马变换来计算SATD，其变换矩阵为：

$H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

$H_8 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

SATD计算方法

当计算4x4块$\begin{bmatrix}L_4\end{bmatrix}$的SATD时，先使用下面的方法进行二维的阿达马变换：

$\begin{bmatrix} L_4' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H_4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} L_4 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} H_4 \end{bmatrix}$

然后计算$\begin{bmatrix}L_4'\end{bmatrix}$所有系数绝对值之和并归一化。

类似的，当计算8x8块$\begin{bmatrix}L_8\end{bmatrix}$的SATD时，先使用下面的方法进行二维的Hadamard变换：

$\begin{bmatrix} L_8' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H_8 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} L_8 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} H_8 \end{bmatrix}$

然后计算$\begin{bmatrix}L_8'\end{bmatrix}$所有系数绝对值之和并归一化。

建構阿达马变换

阿达马变换轉換主要型式為 $\boldsymbol{2^k}$ 點的轉換矩陣，其最小單位矩陣為 2x2 的阿达马变换矩陣，以下分別為二點、四點與如何產生 $\boldsymbol{2^k}$ 點的阿达马变换轉換步驟。

• 二點阿达马变换轉換：

$\boldsymbol{W_2} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

• 四點阿达马变换轉換：

$\boldsymbol{W_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

• 產生 $\boldsymbol{2^k}$ 點阿达马变换的步驟：

步驟一： $\boldsymbol{V_{2^{k+1}}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{W_{2^k}} & \boldsymbol{W_{2^k}} \\ \boldsymbol{W_{2^k}} & \boldsymbol{-W_{2^k}} \end{bmatrix}$

步驟二： 根據正負號次序 (Sign change,正負號改變次數) 將矩陣 (Matrix) 內的列向量座順序上的重新排列。

$\boldsymbol{V_{2^{k+1}}} \longrightarrow \boldsymbol{W_{2^{k+1}}}$

範例

$\boldsymbol{V_4} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{W_2} & \boldsymbol{W_2} \\ \boldsymbol{W_2} & \boldsymbol{-W_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} ,\quad \boldsymbol{W_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.$

$\boldsymbol{V_8} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{W_8} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}.$

特性

• 正交性

$\sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {h, n} \right]W\left[ {m, n} \right] = 0, \quad \mathrm{if} \, h \ne m.$

其表示 Walsh-Hadamard 轉換矩陣中，不同的列向量 (Row verctor) 做內積 (Inner product) 為零。

• 奇偶函數性質

可簡單從 Walsh-Hadamard 轉換矩陣中發現，其奇數列向量呈現左右兩邊偶對稱(Even symmetric)。反之，其偶數列向量呈現左右兩邊奇對稱(Odd symmetric)。

• 線性關係

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],$

則 $a\,f\left[{n}\right] + b\,g\left[{n}\right] \Rightarrow a\,F\left[{m}\right] + b\,G\left[{m}\right].$

• 邏輯相加性質

$W\left[{m, n}\right] \cdot W\left[{l, n}\right] = W\left[{m \oplus l, n}\right].$

範例：

$0 \oplus 0 = 0, \quad 0 \oplus 1 = 1, \quad 1 \oplus 0 = 1, \quad 1 \oplus 1 = 0,$

其運算方式為布林代數內的 XOR 邏輯閘。

• 特殊函數

$\delta\left[{n}\right] \Rightarrow 1, \quad 1 \Rightarrow N \cdot \delta\left[{n}\right].$

其中， $\delta\left[{n}\right] = \begin{cases} \, 1, \quad \mathrm{when} \; n = 0 \\ \, 0, \quad \mathrm{when} \; n \ne 0 \end{cases}.$

• 平移性質

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right],$

則 $f\left[{n \oplus k}\right] \Rightarrow W\left[{k, m}\right] F\left[{m}\right].$

• 調變性質

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right],$

則 $W\left[{k, n}\right] f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m \oplus k}\right].$

• 帕塞瓦尔定理 (Parseval's Theorem)

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right], \quad \sum_{n=0}^{N-1} \left| f\left[ n \right] \right|^2 = \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} \left| F\left[ m \right] \right|^2.$

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],$

則 $\sum_{n=0}^{N-1} f\left[ n \right]g\left[ n \right] = \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} F\left[ m \right]G\left[ m \right].$

• 摺積性質 (Convolution Property)

若 $f\left[{n}\right] \Rightarrow F\left[{m}\right] \, and \, \, g\left[{n}\right] \Rightarrow G\left[{m}\right],$

則 $h\left[{n}\right] = f\left[{n}\right] \star g\left[{n}\right] \Rightarrow H\left[{m}\right] = F\left[{m}\right] G\left[{m}\right],$

其中 $\star$ 代表邏輯摺積 (Logical convolution)。

優缺點比較

優點

• 僅需實數運算 (Real operation) 。
• 不需乘法運算 (No multiplication) ，僅有加減法運算。
• 有部分性質類似於離散傅立葉變換 (Discrete fourier transform) 。
• 順向轉換 (Forward transform) 與反向轉換 (Inverse transform ) 型式為相似式。

$\begin{cases} \begin{matrix} F\left[ m \right] &=& \sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {m, n} \right] f\left[ n \right] & & (\mbox{Forward Type}) \\ f\left[ n \right] &=& \left( \frac{1}{N} \right) \sum_{n=0}^{N-1} W\left[ {m, n} \right]F\left[ m \right] & &(\mbox{Inverse Type}) \end{matrix} \end{cases},$

其中 $F\left[ n \right]$ 與 $f\left[ n \right]$ 分別都為行向量 (Column vector) 。

缺點

• 其收斂速度較離散餘弦變換慢，因此對於頻譜分析的效果較差。
• 其加減法量較離散傅立葉變換、離散餘弦變換多。

應用範圍

阿达马变换轉換主要為一種非常適合應用於頻域分析 (Spectrum analysis) ，去執行快速之分析。可惜的是對於摺積性質是一種邏輯摺積，與離散傅立葉變換上之摺積性質截然不同。因此，較摺積上無法取代離散傅立葉變換。

主要應用範圍：

• 帶寬降低 (Bandwidth reduction) 。
• CDMA (Code division multiple access)。

其主要是一種調變 (modulation) 與解調 (Demodultion) 之技術。

• 資訊編碼 (Information coding)。
• 特徵識別 (Feature extraction)。
• 心電圖分析 (ECG signal analysis in medical signal processing)。
• Hadamard 頻譜量測 (Hadamard spectrometer)。
• 避免量化誤差 (Avoiding quantization error)。由於阿达马变换轉換輸入輸出皆為整數，因此不會有量化誤差的問題。

Jacket 轉換

廣義來說，其實阿达马变换轉換是 Jacket 轉換中的一項特例情況，其將 $w = \pm 2^0 = 1$ 即可求得。

以下為四點的 Jacket 轉換：

$\boldsymbol{J_4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -w & w & -1 \\ 1 & w & -w & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad where \ w = \pm 2^k.$

• $\boldsymbol{2^{k+1}}$ 點的 Jacket 轉換：

$\boldsymbol{J_{2^{k+1}}} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{J_{2^{k}}} & \boldsymbol{J_{2^{k}}} \\ \boldsymbol{J_{2^{k}}} & -\boldsymbol{J_{2^{k}}} \end{bmatrix}.$

相关条目

• 阿达马矩阵

參考文獻

• Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008.
• H. F. Harmuth,“Transmission of information by orthogonal functions,”1970.
• Moon-Hu. Lee,“A new reverse Jacket transform and its fast algorithm,”IEEE Trans. Circuits Syst.-II, vol. 47, pp.39-46, 2000.