降次积分法

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

降次积分法是求高次函数积分的一种技巧。先用换元积分法三角换元法分部积分法部分分式法等方法求出降次公式,将原函数(如In)用低次的函数形式(如In-2)表示。然后将n代成想求的数,逐步降次,直至降至0或1为止,借助积分表得出结果。

例子[编辑]

如在求\int \cos^5 (x) \, dx\!时,需要先求得\int \cos^n (x) \, dx\!的降次公式,过程如下:

I_n \, = \int \cos^n (x) \, dx\!
= \int \cos^ {n-1} (x) \cos (x) \, dx\!
= \int \cos^{n-1} (x) \, d(sin (x)) \!
= \cos^{n-1} (x) sin (x)\ - \int \sin (x) \, d(cos^{n-1} (x))\!
= \cos^{n-1} (x) sin (x)\ + (n-1)\int \sin (x) \cos^{n-2} (x)\sin(x)\, dx\!
= \cos^{n-1} (x) sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\sin^2 (x)\, dx\!
= \cos^{n-1} (x) sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)(1-cos^2 (x))\, dx\!
= \cos^{n-1} (x) sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\, dx\ - (n-1)\int \cos^n (x)\, dx\!
= \cos^{n-1} (x) sin (x)\ + (n-1) I_{n-2}\ - (n-1) I_n\,
I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} (x) sin (x)\ + \ (n-1) I_{n-2} \,
n I_n\ = \cos^{n-1} (x) sin (x)\ + (n-1) I_{n-2}\,
I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) sin (x)\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2} \,

因此\int \cos^n (x) \, dx\!可表示为:

\int \cos^n (x) \, dx\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) sin (x)\ + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} (x) \, dx\!

将n=5代入,可得:

n=5\,I_5\ = \tfrac{1}{5} \cos^4 (x) sin (x)\ + \tfrac{4}{5} I_3\,
n=3\,I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) sin (x)\ + \tfrac{2}{3} I_1\,
\because I_1\ = \int \cos (x) \, dx\ = \sin (x)\ + C_1\,
\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) sin (x)\ + \tfrac{2}{3}\sin(x)\ + C_2\,C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1\,
I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 (x) sin (x)\ + \frac{4}{5}[\frac{1}{3} \cos^2 (x) sin (x) + \frac{2}{3} \sin (x)] + C\,,C为常数

常见降次公式[编辑]

除了上述的\int \cos^n (x) \, dx\!外,常见的降次公式还有:

\int \sin^n (x) \, dx\ = - \frac{1}{n} sin^{n-1} (x) cos (x)\ + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} (x) \, dx\!
\int \tan^n (x) \, dx\ = \frac{1}{n-1} tan^{n-1} (x) - \int \tan^{n-2} (x) \, dx\!
\int (\ln (x) )^n \, dx\ = x (\ln (x))^n\ - n \int (\ln (x))^{n-1} \, dx\!