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除以零

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數學中,被除數的除數(分母)是零將某數除以零,可表達為\textstyle\frac{a}{0},a是被除數。在算式中沒有意義,因為沒有數目,以零相乘(假設a≠0),由於任何數字乘以零均等於零,因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中,此式為無意義。在程序設計中,當遇上正整數除以零程序會中止,正如浮點數會出現NaN值的情況。

基本算術[编辑]

基本算術中,除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如,10個蘋果平分給5人,每人可得\textstyle\frac{10}{5} = 2個蘋果。同理,10個蘋果只分給1人,則其可獨得\textstyle\frac{10}{1} = 10個蘋果。

若除以0又如何?若有10個蘋果,無人來分,每「人」可得多少蘋果?問題本身是沒有意義的,根本無人來,談論每「人」可得多少根本多餘。所以,\textstyle\frac{10}{0},在基本算術中,是無意義或未下定義的。

另一種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「13除以5」,換一種說法,13減去兩個5,餘下3,即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數,算式為\textstyle\frac{13}{5} = 2餘數3。若某數除以零,就算不斷減去零,餘數也不可能小於除數,使得算式與無窮拉上關係,超出基本算術的範疇。

早期嘗試[编辑]

婆羅摩笈多(598–668年)的著作《Brahmasphutasiddhanta》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確,根據婆羅摩笈多,

一個正或負整數除以零,成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。

830年,摩訶吠羅在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤,但不成功:

一數字除以零會維持不變。

婆什迦羅第二嘗試解決此問題,設\textstyle\frac{n}{0}=\infty,雖然此定義有一定道理,但會導致所有滿足該條件的n值都相同的悖論。[1]

代數處理[编辑]

若某數學系統遵從的公理,則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作,即\textstyle\frac{a}{b}值是方程bx = ax的解(若有的話)。若設b = 0,方程式bx = a可寫成0x = a或直接0 = a。因此,方程式bx = a沒有解(当a ≠ 0时),但x是任何數值也可解此方程(当a = 0时)。在各自情況下均沒有獨一無二的數值,所以\textstyle\frac{a}{b}未能下定義。

除以零的謬誤[编辑]

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明:2 = 1 由:

0\times 1 = 0
0\times 2 = 0

得出:

0\times 1 = 0\times 2

除以零得出

\textstyle \frac{0}{0}\times 1 = 2

簡化,得出:

1 = 2\,

以上謬論假設,就是某數除以0是容許的並且0/0=1。另一个简洁的证明

 设a=b,则
   a^2=ab
 两边同时减去b的平方,由平方差公式得
   (a+b)(a-b)=b(a-b),
 两边除以(a-b),
   a+b=b.
 故a=0.

通过上面的过程,能够证明一切数字等于0.但是因为不能够除以0(a-b为0),所以这个毁灭数字的过程不合法,因为不承认能除以0.

虛假的除法[编辑]

矩陣代數或線性代數中,可定義一種虛假的除法,設\textstyle\frac{a}{b}=a b^+,當中b+代表b的虛構倒數。這樣,若b−1存在,則b+ = b−1。若b等於0,則0+ = 0;參見广义逆

數學分析[编辑]

函數\textstyle y = \frac{1}{x}。當x趨向0,y趨向無限(反之亦然)

扩展的实数轴[编辑]

表面看來,可以藉着考慮隨着b趨向0的\textstyle\frac{a}{b}極限而定義\textstyle\frac{a}{0}。對於任何正數a

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty

而對於任何負數a

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {-}\infty

所以,對於正數a\textstyle\frac{a}{0}可被定義為+∞,而對於負數a則可定義為−∞。不過,某數也可以由負數一方(左面)趨向零,這様,對於正數a\textstyle\frac{a}{0}定義為−∞,對於負數a\textstyle\frac{a}{0}定義為+∞。由此可得(假設實數的基本性質可應用在極限上):

+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty

最終變成 +∞ = −∞,與在扩展的实数轴上對極限賦予的標準定義不相符。唯一的辦法是用沒有正負號的無限,參見下面。

另外,利用極限的比無為\textstyle\frac{0}{0}提供解釋:

 \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b}

並不存在,而

 \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)}

若隨着x趨向0,f(x)g(x)均趨向0,該極限可等於任何實數或無限,或者根本不存在,視乎fg是何函數(參閱洛必達法則)。由此,\textstyle\frac{0}{0}難以被定義為一極限。

形式推算[编辑]

運用形式推算formal calculation),正號、負號或沒有正負號因情況而定,除以零定義為:

黎曼球[编辑]

集合\mathbb{C}\cup\{\infty\}黎曼球Riemann sphere),在複分析中相當重要。

注釋[编辑]

參考[编辑]

  • Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).
  • Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀[编辑]

參見[编辑]