除环
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除环(division ring),又譯反稱域(skew field),是一类特殊的环。如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后,对于乘法
形成一个群(一般来说环R对乘法形成半群),那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环,比如四元数环。
换种说法,一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。
交换的除环就是域,因此我们只需研究非交换的除环。除四元数环外,如果把四元数环中的系数由实数改为有理数,则仍构成一个除环。更一般地,若R是一个环,S是R上的一个不可约模,则S的自同态环是一个除环。
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| 代数系统 | 群 | 半群 | 幺半群 | 环 | 域 | 伽罗瓦域 | 本原元 | 格 | 逆元素 | 等价关系 | 同构基本定理 | 合成列 | 自由對象 | |
| 群论 | 子群 | 阶 | 阿贝尔群 | 循環群 | 有限群 | 李群 | 中心 | 陪集 | 正规子群 | 拉格朗日定理 | 幂零群 | 商群 | 双陪集 | 共轭类 | 群表示 | 群作用 | 交換子 | 中心化子和正规化子 | 交换子群 | 可解群 | p-群 | 对称群 | 西羅定理 | 稳定子群 | 單群 | 半单群 | 典型群 | 自由群 |
| 环论 | 整环 | 除环 | 多项式环 | 环的理想 | 模 | 幂零元 | 特征 | 主理想环 | 唯一分解环 | 素环 | 商环 | 自由模 | 平坦模 | 諾特環 | 完備化 | 阿廷模 | 諾特模 | 局部化 | 深度 (模論) | 局部環 | 賦值環 | 交換環上的代數 | 單模 |
| 域论 | 域扩张 | 有限域 | 原根 | 有限扩张 | 超越扩张 | 代数闭域 | 局部域 | 分式環 | 单扩张 | 代数扩张 |
| 同态 | 同构 | 商结构(商系统) | |

