除环

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除环(division ring),又譯反對稱體(skew field),是一类特殊的环,在环内除法运算有效。需要特别注意的是,此环内必有非0元素,且环内所有的非0量都有对应的倒数(比如说,对于x来说,存在数a,使得 a·x = x·a = 1)。除环不一定是交换环,比如四元数环。

换种说法,一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。

交换的除环就是,因此我们只需研究非交换的除环。除四元数环外,如果把四元数环中的系数由实数改为有理数,则仍构成一个除环。更一般地,若R是一个环,S是R上的一个不可约模,则S的自同态环是一个除环。