陪集

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数学上,若GH为其子群,而gG中元素,则

gH = {gh : hH中元素 }为HG中的左陪集,而
Hg = {hg : hH中元素 }为HG中的右陪集

仅当H正规子群时,左右陪集相同,这也是子群正规性的一个定义。

陪集指某个G中子群的左或右陪集。因为Hg = g ( g−1Hg ),(H的)右陪集Hg和(共轭子群 g−1Hg 的)左陪集g ( g−1Hg )是相等的。因此不规定所使用的子群而讨论一个陪集是左陪集或右陪集是没有意义的。

对于交换群或者记为加法形式的群,陪集可以分别用g+HH+g表示。

范例[编辑]

加法循环群 Z4 = {0, 1, 2, 3} = G有子群H = {0, 2}(同构Z2)。HG中的左陪集为

0 + H = {0, 2} = H
1 + H = {1, 3}
2 + H = {2, 0} = H
3 + H = {3, 1}.

因此存在两种不同的陪集H本身和1 + H = 3 + H。注意每个G中元素或者在H中,或者在1 + H中,也即,H ∪ (1 + H ) = G,所以HG中不同的陪集构成G的一个划分。因为Z4是交换群,右陪集和左陪集相同。

另一个陪集的例子来自线性空间中。线性空间的向量向量加法下组成一个阿贝尔群。可以证明原来的线性空间的子空间是这个群的子群。对于给定的线性空间 V,子空间 WV 中的一个固定向量 a,集合

\{x \in V \colon x = a + n, n \in W\}

被称为“仿射子空间”。它们都是 W 的陪集。对于欧几里得空间,仿射子空间代表与给定的过原点的直线平面平行的直线或平面。

性质[编辑]

gH = H 当且仅当 gH 中的元素。

一个子群 H 的两个左(右)陪集要么相同,要么不交——即左(右)陪集的集合构成了群 G 的一个划分:群中的每个元素属于且仅属于一个左(右)陪集。特别地,单位元只在一个陪集中,即是 H 自己。因此 H 也是所有左(右)陪集中唯一的子群。这个划分称为 GH陪集分解

如果定义 G 中的等价关系为:x ~H yx 等价于 y )当且仅当x -1yH,那么 HG 中的左陪集正是所有不同的等价类。类似的结论对右陪集也成立(当xy^{-1} \in H)。

一个陪集的代表元是建立在上述等价关系上的概念。陪集中的每个元素都可以作为该陪集的代表元。

H的所有左(右)陪集的都是一样的。HG 中的左陪集个数和右陪集个数也是一样的,称为 HG 中的指数。记作 [G:H]。由陪集的性质很容易得到拉格朗日定理,其说明在 G 为有限群时:

|G | = [G : H ] · |H |。

陪集与正规子群[编辑]

如果 H 不是 G正规子群,那么它的左陪集和右陪集不相等:存在 G 中元素 a 使得不存在符合aH = Hb的元素 b,或者说 H 的左陪集构成的划分(GH 的左陪集分解)不同于 H 的右陪集构成的划分(GH 的右陪集分解)。

另一方面,子群 N 为正规子群当且仅当对 G 中所有元素 ggN = Ng。这时子群 N 所有的陪集构成一个群,称为GH商群,记作G /H。其元素间的运算 ∗ 定义为(aH )∗(bH ) = abH。这个定义自洽当且仅当 N 为正规子群。

有限指数[编辑]

无限群G可能有具有有限指数的子群H(例如,整数群中的偶数)。可以证明,这样的子群总是包含一个具有有限指数的(G的)正规子群N。事实上,如果H具有指数n,则N的指数是n!的因子。这一性质可以通过具体的例子来体现:考虑G通过乘法在H的左陪集上的置换作用(或者,在右陪集上的作用也是同样的例子)

\pi \ : G \times S_H \to S_H
. \ \ \ ( \ g \ , \ aH) \longmapsto gaH

其中 S_H 是所有陪集的集合。对 G 中任意的 g\pi_g \ : aH \mapsto gaH 都是一个置换。再考虑相应的置换表示\Pi \ : g \mapsto \pi_g ,这个置换表示的核给出了G的一个正规子群N,而它的象是G的一个商群:一个在n个元素上的对称群的子群。

n = 2时,上述性质表明指数为2的子群总是一个正规子群,因为 2!=2。

参看[编辑]

参考来源[编辑]

  • 胡冠章,《应用近世代数》,第2章,清华大学出版社。