階乘

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自然數n的階乘（factorial）是所有小於或等於n的正整數的積，寫作n!。1808年基斯頓·卡曼引進這個表示法。

n!=\prod_{k=1}^n k 對於所有n\ge0

即是n!=1×2×3×...×n

规定0!=1。這條式子令階乘的递归定義在n=0時有效：(n+1)!=n!(n+1)，亦令很多組合數學的恆等式在大小為零時仍有效。

階乘亦可以用伽瑪函數定義，令非整數的數亦有效：

z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt

目录

[编辑] 應用

[编辑] 計算

當n不太大時，普通的計數機都可以計算。大部分計數機能夠處理最大的n的階乘是69!，因為70!>10100

當n很大時，可以用斯特林公式估計： n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}
更精确的估计是： n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}
其中 \frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}.

[编辑] 變化

[编辑] 伽瑪函數

伽瑪函數

伽瑪函數將階乘推廣到複數，其定義為

\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!。

它滿足\Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \,。

[编辑] 遞進/遞降階乘

  • 遞降階乘： (x)_n = x^{\underline{n}} = x(x-1)...(x+n+1)
  • 遞進階乘： x^{\overline{n}} = x(x-1)...(x-n+1)
  • x^{\overline{n}}= (-1)^n (-x)^{\underline{n}}

[编辑] 双階乘

n!!表示双階乘，其定義為：

n!!= \left\{ \begin{matrix} 1, \\ n(n-2)!! \end{matrix} \right. 若n=1,-1或0
若n\ge2

[编辑] 多重阶乘

n!(k)被称为n的k重阶乘，定义为：

n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{if }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.

[编辑] hyper階乘

hyper階乘(hyperfactorial)寫作H(n)，其意思為：

H(n) =\prod_{k=1}^n k^k =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n

hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘的差很遠。

[编辑] 超級階乘

1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超級階乘(superfactorial)為首n個階乘的積。即 sf(n)=1!×2!×3!×...×n!(OEIS:A000178)。一般來說

\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

柯利弗德·皮寇弗在他的書Key to Infinity定義了另一個超級階乘，寫作n$̣（$̣實際上應該是!和S重疊在一起）：n$̣=n(4)n，(4)表示hyper4，使用高德納箭號表示法即n$̣=(n!)↑↑(n!)。這個數列：

1$̣=1
2$̣=22=4
3\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}
来自“http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98”
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