階乘

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階乘，定義于整個實數（負整數除外）。
例如：$1!=0!=1\,$，$(-0.5)! = \sqrt{\pi}$，$0.5!=0.5\sqrt{\pi}.$

一个正整数的階乘（英语：factorial）是所有小於或等於該數的正整數的積，并且有0的阶乘为1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

$n!=\prod_{k=1}^n k \quad\forall n\ge1$

亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞迴方式定義：1!=1，n!=(n-1)!×n。

階乘是伽瑪函數的在整數時的特例：

$z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt$

計算

計算n!時，當n不太大時，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過10¹⁰⁰數值的計算機可以計算至69!。

當n很大時，可以用斯特林公式估計： $n!\sim\sqrt{2\pi n}\;\left(\frac{n}{e}\right)^{n}$
更精确的估计是： $n!=\sqrt{2\pi n}\;\left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}$
其中 $\frac{1}{12n+1}<\lambda_n<\frac{1}{12n}$

變化

伽瑪函數

伽瑪函數

伽瑪函數將階乘推廣到複數，其定義為

$\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!$。

它滿足$\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)$，

遞進/遞降階乘

• 遞降階乘：$(x)_n = x^{\underline{n}} = x(x+1)...(x+n+1)$
• 遞進階乘：$x^{\overline{n}} = x(x-1)...(x-n+1)$
• $x^{\overline{n}}= (-1)^n (-x)^{\underline{n}}$

双階乘

$n!!$表示双階乘，其定義為： $(2n-1)!!=1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1)$

$(2n)!!=2\times4\times6\times8\times\cdots\times(2n)$

廣義的雙階乘

無視上述定義的n!!因為即使值的N，雙階乘為奇數可擴展到最實數和複數 z的注意到，當 z是一個積極的奇數則:

$z!! = z(z-2)\cdots (3) = 2^{(z-1)/2}\left(\frac{z}{2}\right)\left(\frac{z-2}{2}\right)\cdots \left(\frac{3}{2}\right) = 2^{(z-1)/2} \frac{\Gamma\left(\frac{z}{2}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+1\right)} = \sqrt{\frac{2^{z+1}}{\pi}} \Gamma\left(\frac{z}{2}+1\right)\,.$

獲得的表達接受一個以上公式$(2n+1)!!$ 和$(2n-1)!!$ 並表示在條件發生的階乘函數的γ既可以看出（使用乘法定理）等同於一個給定在這裡。

z!!定義為所有複數除負偶數。

使用它的定義，半徑為R的n維超球其體積可表示為:

$V_n=\frac{2 (2\pi)^{(n-1)/2}}{n!!} R^n.$

多重阶乘

$n!^{(k)}$被称为n的k重阶乘，定义为：

$n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{if }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.$

廣義的多重階乘

能將多垂階乘推廣到複數(甚至是四元數)

$z!^{(k)} = z(z-k)\cdots (k+1) = k^{(z-1)/k}\left(\frac{z}{k}\right)\left(\frac{z-k}{k}\right)\cdots \left(\frac{k+1}{k}\right) = k^{(z-1)/k} \frac{\Gamma\left(\frac{z}{k}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{k}+1\right)}\,.$

四次階乘

所謂的四次階乘(又稱四重階乘) 不是 n!⁽⁴⁾; 他是一些很大的數字 (2n)!/n!, 前幾個四次階乘為

1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, ... （OEIS中的数列A001813）.

他也等於

$\begin{align} 2^n\frac{(2n)!}{n!2^n} & = 2^n \frac{(2\cdot 4\cdots 2n) (1\cdot 3\cdots (2n-1))}{2\cdot 4\cdots 2n} \\[8pt] & = (1\cdot 2)\cdot (3 \cdot 2) \cdots((2n-1)\cdot 2)=(4n-2)!^{(4)}. \end{align}$

hyper階乘

hyper階乘（hyperfactorial 有時譯作過度階乘）寫作H(n)，其定義為：

$H(n) =\prod_{k=1}^n k^k =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n$

hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘的差很遠。 前幾項的hyper階乘為:

1, 4, 108, 27648, 86400000,...... （OEIS中的数列A002109）.

超級階乘

1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超級階乘（superfactorial）為首n個階乘的積。即sf(n)=1!×2!×3!×...×n!(OEIS:A000178)。一般來說

$\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

另一種定義

柯利弗德·皮寇弗在他的書Key to Infinity定義了另一個超級階乘，寫作n$̣（$̣實際上應該是!和S重疊在一起）：n$̣=n⁽⁴⁾n，⁽⁴⁾表示hyper4，使用高德納箭號表示法即n$̣=(n!)↑↑(n!)。這個數列：

1$̣=1

2$̣=2²=4

$3\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}$

質數階乘

質數階乘 是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數的積，自然數n的質數階乘，寫作n#。

目前質數階乘只能用遞迴方式定義，因為尚未找到一個能用基本函數表示所有質數的函數或一條包含所有質數的曲線

一般情況下質數階乘定義為:

$n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#$

其中, π(n)是 質數計數函數 （OEIS中的数列A000720）, 小於或等於某個實數n的質數的個數的函數 ≤ n

關於質數階乘的詳細資料請到這裡

參見

• 伽瑪函數
• 斯特靈公式

參考文獻

• ^Eric W. Weisstein, Factorial, MathWorld.