階乘

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階乘,定義于整個實數(負整數除外)。
例如:1!=0!=1\,(-0.5)! = \sqrt{\pi}0.5!=0.5\sqrt{\pi}.

一个正整数的階乘英语factorial)是所有小於及等於該數的正整數,并且有0的阶乘为1。自然數n的階乘寫作n!。1808年,基斯頓·卡曼引進這個表示法。

n!=\prod_{k=1}^n k \quad\forall n\ge1

亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞迴方式定義:0!=1,n!=(n-1)!×n。

階乘亦可定義于整個實數(負整數除外),其与伽瑪函數的关系为:

z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt

n!可质因子分解\prod_{p \le n} p^{\sum_{r=1}^n [\frac{n}{p^r}]} ,如6!=24×32×51[1]

計算[编辑]

計算n!時,當n不太大時,普通的科學計算機都可以計算,能夠處理不超過10^{100}數值的計算機可以計算至69!。

當n很大時,可以用斯特林公式估計: n!\sim\sqrt{2\pi n}\;\left(\frac{n}{e}\right)^{n}
更精确的估计是: n!=\sqrt{2\pi n}\;\left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}
其中 \frac{1}{12n+1}<\lambda_n<\frac{1}{12n}

變化[编辑]

定义扩展[编辑]

階乘的定義可推廣到複數,其与伽瑪函數的关系为:

z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!

伽瑪函數滿足\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)

遞進/遞降階乘[编辑]

  • 遞進階乘:(x)_n = x^{\overline{n}} = x(x+1)...(x+n-1)
  • 遞降階乘:x^{\underline{n}} = x(x-1)...(x-n+1)
  • x^{\overline{n}}= (-1)^n (-x)^{\underline{n}}

双階乘[编辑]

n!!表示双階乘,其定義為: (2n-1)!!=1\times3\times5\times7\times\cdots\times(2n-1)

(2n)!!=2\times4\times6\times8\times\cdots\times(2n)

廣義的雙階乘[编辑]

無視上述定義的n!!因為即使值的N,雙階乘為奇數可擴展到最實數和複數z的注意到,當z是一個正的奇數則:

z!! = z(z-2)\cdots(3)
= 2^{(z-1)/2}\left(\frac{z}{2}\right)\left(\frac{z-2}{2}\right)\cdots \left(\frac{3}{2}\right)
= 2^{(z-1)/2} \frac{\Gamma\left(\frac{z}{2}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+1\right)}
= \sqrt{\frac{2^{z+1}}{\pi}} \Gamma\left(\frac{z}{2}+1\right)\,.

獲得的表達接受一個以上公式(2n+1)!!(2n-1)!!並表示在條件發生的階乘函數的γ既可以看出(使用乘法定理)等同於一個給定在這裡。

z!!定義為所有複數除負偶數。

使用它的定義,半徑為R的n維超球其體積可表示為:

V_n=\frac{2 (2\pi)^{(n-1)/2}}{n!!} R^n.

多重阶乘[编辑]

n!^{(k)}被称为n的k重阶乘,定义为:

  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k;
   \\
    n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{if }n\ge k.\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.

廣義的多重階乘[编辑]

能將多垂階乘推廣到複數(甚至是四元數

z!^{(k)} = z(z-k)\cdots(k+1)
= k^{(z-1)/k}\left(\frac{z}{k}\right)\left(\frac{z-k}{k}\right)\cdots \left(\frac{k+1}{k}\right)
= k^{(z-1)/k} \frac{\Gamma\left(\frac{z}{k}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{k}+1\right)}\,.

四次階乘[编辑]

所謂的四次階乘(又稱四重階乘) 不是 n!(4),而是 (2n)!/n!,前幾個四次階乘

1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, ... (OEIS中的数列A001813).

他也等於


\begin{align}
2^n\frac{(2n)!}{n!2^n} & = 2^n \frac{(2\cdot 4\cdots 2n) (1\cdot 3\cdots (2n-1))}{2\cdot 4\cdots 2n} \\[8pt]
& = (1\cdot 2)\cdot (3 \cdot 2) \cdots((2n-1)\cdot 2)=(4n-2)!^{(4)}.
\end{align}

hyper階乘[编辑]

hyper階乘(hyperfactorial有時譯作過度階乘)寫作H(n),其定義為:

  H(n)
 = \prod_{k=1}^n k^k
 = 1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n

hyper階乘和階乘差不多,但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。 前幾項的hyper階乘為:

1, 4, 108, 27648, 86400000,...... (OEIS中的数列A002109).

超級階乘[编辑]

1995年,尼爾·斯洛恩西蒙·普勞夫定義了超級階乘(superfactorial)為首n個階乘的積。即sf(n)=1!×2!×3!×...×n!(OEIS:A000178)。一般來說

  \mathrm{sf}(n)
 = \prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
 = 1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

另一種定義[编辑]

柯利弗德·皮寇弗在他的書Key to Infinity定義了另一個超級階乘,寫作n\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}n\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}實際上應該是!和S重疊在一起):n\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}  = n ^{(4)} n(4)表示hyper4,使用高德納箭號表示法n\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}  = (n!) \uparrow \uparrow (n!)。這個數列:

1\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}  = 1
2\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!} = 2^2 = 4
3\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}=6 \uparrow \uparrow 6 = 6^{6^{6^{6^{6^6}}}},读作6个6重幂。
4\mathrm{S}\!\!\!\!\!\;\,{!}=(4!) \uparrow \uparrow (4!) = 24 \uparrow \uparrow 24 = 
  \begin{matrix}
  {24_{}^{24^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{24}}}}}}}\\
  \end{matrix},一直写24个24,读作24个24重幂。[2]

質數階乘[编辑]

質數階乘是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數的積,自然數n的質數階乘,寫作n#。

目前質數階乘只能用遞迴方式定義,因為尚未找到一個能用基本函數表示所有質數函數或一條包含所有質數曲線

一般情況下質數階乘定義為:

n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\#

其中, π(n)質數計數函數OEIS中的数列A000720),小於或等於某個實數n的質數的個數的函數≤n

自然数阶幂[编辑]

阶幂也称叠幂或者重幂记作n^!(感叹号!写在自然数的右上角),它的定义是将自然数1至n的数由大到小作幂指数重叠排列,数学定义如下:

n^! = n^{{(n-1)}^!} = n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}

其中n ≥ 1,前几项的重幂数为:

1 , 2 , 9 , 262144 , ...

第5个重幂数一般计算机已经不能计算出来了,因为据估算它的数量级下限为182954,即它是一个大概有18万位阿拉伯数字组成的超大自然数。

二次阶幂:


n^{!!} = n^{{!}^{2}} = {n^{{!}{(n-1)^{{!}{{(n-2)}^{{!}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!}{2^{{!}{1^!}}}}}}}}}}}}}}

相应地,m次阶幂定义如下:


n^{{!}^{m}} = n^{{{!}^{(m-1)}{(n-1)}^{!^{m}}}} = {n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{(n-2)}^{{!^{(m-1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!^{(m-1)}}{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}}}}}

其中nm≥1,且nmZ

符号史[编辑]

  • 瑞士数学家欧拉(Euler, L.)于1751年用大写字母M表示m阶乘M=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot m
  • 意大利数学家鲁菲尼(Ruffini, P.)在1799年出版的方程著述中,用小写字母\pi表示m阶乘。
  • 德国数学家高斯(Gauss, C.F)于1818年则用\Pi (n)表示n阶乘。
  • 用符号\underline{\mid n}表示n阶乘的方法起源于英国,尚不能确定其创始人,1827年,由雅来特(Jarrett)的建议得以流行,现代有时亦用此阶乘符号。
  • 现在通用的阶乘符号n!是法国数学家克拉姆(Kramp, C.)于1808年最先提出来的,后经德国数学家、物理学家格奥尔格·欧姆(Ohm, M.)等人的倡议而流行起来,直用到现在。


參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 潘承洞. 数论基础. 
  2. ^ https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E5%BE%B7%E7%B4%8D%E7%AE%AD%E8%99%9F%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%B3%95