階躍響應

典型二階系統的階躍響應，包括有過衝（overshoot）、振鈴（ringing），在安定時間（settling time）後回到穩定值。

階躍響應是指一系統在其輸入為一階躍函數時，其輸出的變化。在電子工程或控制領域中，階躍響應是指一系統的輸入在很短時間由0變成定值時，其輸出的時域特性。

分析一系統的階躍響應有助於了解系統的特性，因為當輸入在長時間穩態後，有快速而大幅度的變化，可以看出系統各個部份的特性。而且也可以知道一個系統的穩定性。

一系統的階躍響應可以用以下的時域特性來描述：

• 上昇時間（rise time）。
• 过冲（overshoot）。
• 振鈴（ringing）。
• 安定時間（settling time）。

數學定義

對於一個線性非時變系統，其階躍響應可以用單位階躍函數H(t)和系統衝激響應 h(t) 的卷積來表示：

$a(t) = {h*H}(t) = {H*h}(t) = \int_{-\infty }^{+\infty} h(\tau) H(t - \tau ) \, d\tau = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, d\tau.$

若針對一個一般的動態系統，其階躍響應可定義如下：

$\boldsymbol{x}|_t = \Phi_{\{H(t)\} \left(t,{\boldsymbol{x}_0} \right)}. \,$

其階躍響應是系統輸入為單位階躍函數時的演化函數（evolution function）。表示式中H(t)為下標。

線性非時變系統的階躍響應

一階系統

RC電路

一階RC電路的階躍響應，沒有過衝及振鈴，在三倍時間常數時輸出到達輸入的95%

考慮如右圖的RC電路，頻域下輸出電壓V_c和輸入電壓V_in的關係可表示為下式：

$V_c(s) = \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + \tau s}V_{in}(s)$

其中$\tau = RC$為此系統的時間常數

考慮以下形式的輸入電壓V_in(t)：

$V_{in}(t) = 0, t<=0$

$V_{in}(t) = V_{in}, t>0$

則輸出電壓V_c(t)可以表示為以下的形式：

$V_c(t) = V_{in} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$

參照

• 衝激響應
• 过冲（overshoot）
• 上昇時間（rise time）
• 安定時間（settling time）
• 時間常數（Time constant）
• 極點分離（Pole splitting）