階躍響應

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典型二階系統的階躍響應,包括有過衝(overshoot)、振鈴ringing),在安定時間settling time)後回到穩定值。

階躍響應是指一系統在其輸入為一階躍函數時,其輸出的變化。在電子工程控制領域中,階躍響應是指一系統的輸入在很短時間由0變成定值時,其輸出的時域特性。

分析一系統的階躍響應有助於了解系統的特性,因為當輸入在長時間穩態後,有快速而大幅度的變化,可以看出系統各個部份的特性。而且也可以知道一個系統的穩定性。

一系統的階躍響應可以用以下的時域特性來描述:

數學定義[编辑]

對於一個線性非時變系統,其階躍響應可以用單位階躍函數H(t)和系統衝激響應 h(t) 的卷積來表示:

a(t) = {h*H}(t) = {H*h}(t) = \int_{-\infty }^{+\infty} h(\tau) H(t - \tau ) \, d\tau = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, d\tau.

若針對一個一般的動態系統,其階躍響應可定義如下:

 \boldsymbol{x}|_t = \Phi_{\{H(t)\} \left(t,{\boldsymbol{x}_0} \right)}. \,

其階躍響應是系統輸入為單位階躍函數時的演化函數evolution function)。表示式中H(t)為下標。

線性非時變系統的階躍響應[编辑]

一階系統[编辑]

RC電路
一階RC電路的階躍響應,沒有過衝及振鈴,在三倍時間常數時輸出到達輸入的95%

考慮如右圖的RC電路頻域下輸出電壓Vc和輸入電壓Vin的關係可表示為下式:


V_c(s) =  \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + \tau s}V_{in}(s)

其中\tau = RC為此系統的時間常數

考慮以下形式的輸入電壓Vin(t):

V_{in}(t) = 0, t<=0
V_{in}(t) = V_{in}, t>0

則輸出電壓Vc(t)可以表示為以下的形式:


V_c(t) = V_{in} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})

參照[编辑]