随机图

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數學中,随机图是指由随机过程产生的[1]。随机图的理论处于图论概率论的交叉地带,主要研究各种经典随机图的性质。第一批关于随机图的结果是保罗·埃尔德什阿尔弗雷德·雷尼在1959年至1966年的一系列论文中提出的[2].

定义与模型[编辑]

随机图的“随机”二字体现在边的分布上。一个随机图实际上是将给定的顶点之间随机地连上边。假设将一些纽扣散落在地上,并且不断随机地将两个纽扣之间系上一条线,这样就得到一个随机图的例子[3]。边的产生可以依赖于不同的随机方式,这样就产生了不同的随机图模型。一个典型的模型是埃尔德什雷尼共同研究的ER模型。ER模型是指在给定 n 个顶点后,规定每两个顶点之间都有 p概率连起来(0 \leqslant p \leqslant 1),而且这些判定之间两两无关。这样得到的随机图一般记作 G_n^pER_n(p)[4]

另一种随机图模型叫做内积模型内积模型的机制是对每一个顶点指定一个系数的向量,而两个顶点之间是否连接的概率则是它们的向量的内积的函数。

一般来说,可以定义任意两个顶点之间相连的概率,这个概率也被称为边概率。定义更广泛的随即图模型的方法是定义所谓的网络概率矩阵。这个矩阵的系数就是边概率,因此详细刻画了随机图的模型。

随机规则图是随机图中特殊的一类,它的性质可能会与一般的随机图不同。

性质[编辑]

随着边概率的不同,随机图可能会呈现不同的属性。对于最典型的ER模型,埃尔德什与雷尼研究了当顶点数目 n 趋向于正无穷大时,ER随机图的性质与概率 p 之间的关系。他们发现,当 p 的值越过某些门槛时,ER随机图的性质会发生突然的改变[3]。ER随机图的许多性质都是突然涌现的,比如说,当 p 的值小于某个特殊值之前,随机图具有某个性质的可能性等于0,但当 p 的值大于这个特殊值以后,随机图具有这个性质的可能性会突然变成1。

举例来说,当概率 p 大于某个临界值 pc(n) 后,生成的随机图几乎必然是连通的(概率等于1)。也就是说,对于散落在地上的 n 个纽扣,如果你以这样的概率 p 将两个纽扣之间系上线,那么你拿起一颗纽扣时就几乎能带起所有的纽扣了[3]

随机树[编辑]

随机树是随机图的一类。如同随机图一样,随机树是一个经由随机过程建立的。随机树的一种生成方法是利用随机置换。首先生成一个 \scriptstyle \frac{n}{2}(n-1) 阶随机置换函数,将 \scriptstyle \frac{n}{2}(n-1) 个可能连起来的边标上 1 至 \scriptstyle \frac{n}{2}(n-1) 的序号。然后按照从小到大的序号排列为原本没有边的图一一添加边。添加第 \scriptstyle k 条边时,如果发现添加后会导致图中出现一个,那么就放弃添加这条边,而开始添加第 \scriptstyle k+1 条边。最后得到的就是一个随机树[5]

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Béla Bollobás, Random Graphs, 2nd Edition, 2001, Cambridge University Press
  2. ^ 第一篇论文发表于1959年,标题为“On Random Graphs I”(《论随机图 I》),Publ. Math. Debrecen 6, p290.
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 汪小帆,李翔,陈关荣. 《复杂网络理论及其应用》. 清华大学出版社. 2006. ISBN 9787302125051 (中文). 
  4. ^ Romeo Van Der Hofstad. Random Graphs and Complex Networks. Eindhoven University of Technology. 2011年2月25日 (英文). 
  5. ^ Alexandr Kazda. The Random Tree Process. Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science. [2011-04-24].