隐函数

在一个方程$f(x,y)=0$中，若令x在某一区间内取任意值时总有相应的y满足此方程，则可以说方程$f(x,y)=0$在该区间上确定了x的隐函数y，如$x^2+y^2-1=0$。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如$y=cos(x)$。

隱函數的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

• 隐函数左右两边对$x$求导（但要注意把$y$看作$x$的函数）；
• 利用一阶微分形式不变的性质分别对$x$和$y$求导，再通过移项求得$\frac {dy}{dx}$的值；
• 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子，若欲求$z=f(x,y)$的导数$\frac {dy}{dx}$，那么可以将原隐函数通过移项化为$f(x,y,z)=0$的形式，然后通过$\frac {dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y}$（式中$F'_y$$F'_x$分别表示$y$和$x$对$z$的偏导数）来求解。

示例

• 針對$y^n$：

$\frac{d}{dx}y^n = n \cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}$

• 針對$x^m y^n$：

$\frac{d}{dx}x^m y^n = n \cdot x^m y^{n-1}\frac{dy}{dx} + m \cdot x^{m-1} y^n$

• 求$\ 12x^7-7x^4 y^3+6xy^5-14y^6+25=10$對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

${\color{Blue}12x^7}{\color{Red}-7x^4 y^3}{\color{Green}+6xy^5}{\color{Brown}-14y^6}+25=10$

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

${\color{Blue}12\cdot7x^6}{\color{Red}-7\left(3x^4 y^2\frac{dy}{dx} + 4x^3 y^3 \right)}{\color{Green}+6\left(5xy^4\frac{dy}{dx} + y^5\right)}{\color{Brown}-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}}+0=0$

2.移項處理。

${\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}={\color{Red}21x^4 y^2\frac{dy}{dx}}{\color{Green}- 30xy^4\frac{dy}{dx}}{\color{Brown}+84y^5\frac{dy}{dx}}$

3.抽出導數因子。

${\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}=\left({\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5} \right)\left( \frac{dy}{dx} \right)$

4.移項處理。

$\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}}{{\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5}}$

5.完成。得出其導數為$\frac{84x^6 - 28x^3 y^3 + 6y^5}{21x^4 y^2 - 30xy^4 + 84y^5}$。

6.選擇性步驟：因式分解處理。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\left(42x^6 - 14x^3 y^3 + 3y^5 \right)}{3y^2\left(7x^4 - 10xy^2 + 28y^3\right)}$

參見

• 反函數