隐函数定理

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数学中,隐函数定理是一个描述关系以隐函数表示的某些变量之间是否存在显式关系的定理。隐函数定理说明,对于一个由关系R(x, y) = 0表示的隐函数,如果它在某一点附近的微分满足某些条件,则在这点附近,y 可以表示成关于 x 的函数:

y = f(x)

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

例子[编辑]

定义了函数 f(x,y)=x^2 + y^2 之后,单位圆就可以写成满足 f(x,y)=1 的点的集合。在圆上的每一点,比如点A上,y 都可以表示成关于x 的函数y(x)=\sqrt{1-x^2}, 除了点B以外。

定义函数 f(x,y)=x^2 + y^2,那么方程 f(x,y)=1 的所有解的集合构成单位圆\{ (x,y) | f(x,y) = 1 \} = \{ (x,y) | x^2 + y^2 = 1 \})。圆上的点是无法用统一的方法表示成y = g(x) 的形式的,因为每个x \in (-1,1), 都有两个 y的值与之对应,即\pm\sqrt{1-x^2}

然而,局部地用x 来表示y 是可以的。给定圆上一点 (x,y),如果y>0 ,也就是说这点在圆的上半部分的话,在这一点附近y 可以写成关于x 的函数:y = \sqrt{1-x^2}。如果y<0 ,附近的y 也可以写成关于x 的函数:y = - \sqrt{1-x^2}

但是,在点(1,0)的附近,y 无法写成关于x 的函数,因为(1,0) 的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点,于是对于附近的每一个x,都有两个 y的值与之对应。

定理的叙述:欧几里得空间的情况[编辑]

f : Rn+mRm 为一个连续可微函数。这里Rn+m 被看作是两个空间的直积Rn × Rm,于是Rn+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x1, ..., xny1, ..., ym) 的形式。

对于任意一点(a,b) = (a1, ..., anb1, ..., bm) 使得 f(ab) = 0,隐函数定理给出了能否在(a,b)附近定义一个y关于x的函数g,使得只要:f(x,y)=0,就有y = gx )的充分条件。这样的函数g存在的话,严格来说,就是说存在ab邻域UV,使得g的定义域是: g : UV,并且g的函数图像满足:

隐函数定理说明,要使的这样的函数g存在,函数f雅可比矩阵一定要满足一定的性质。对于给定的一点 (a,b),f雅可比矩阵写作:

(Df)(\mathbf{a},\mathbf{b}) =  \left[\begin{matrix}
 \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &
    \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
 \vdots & \ddots & \vdots\\
 \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})
\end{matrix}\right|\left.
\begin{matrix} 
 \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
 \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\end{matrix}\right] = [X|Y]

其中的矩阵 Xf 关于x的偏微分,而 Yf 关于y的偏微分。隐函数定理说明了:如果 Y 是一个可逆的矩阵的话,那么满足前面性质的UV 和函数 g 就会存在。概括地写出来,就是:


f : Rn+mRm连续可微函数,并令 Rn+m 中的坐标记为 (xy)。给定一点 (a1,...,an,b1,...,bm) = (a,b) 使得 f(a,b)=c,其中 cRm。如果矩阵[(∂fi/∂yj)(a,b)] 是可逆矩阵的话,那么存在a的邻域Ub的邻域V 以及同样是连续可微的函数 g:UV,满足

\{ (\mathbf{x}, g(\mathbf{x})) \} = \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) | f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{c} \} \cap (U \times V).
——

一般情形[编辑]

E_1E_2F 是三个巴拿赫空间,而 UV分别是E_1E_2 上的两个开集。设函数:

f : U \times V \rightarrow F

是一个C^k的函数(见光滑函数),其中 k \ge 1,并且对于E_1 \times E_2中的一点(x_0, y_0),满足:

f(x_0, y_0)=0D_y f(x_0, y_0) \neq 0

那么有如下结论:

  • 存在 x_0邻域 U_0 \subset U 以及 y_0邻域 V_0 \subset V
  • 存在一个C^k的函数:\varphi : U_0 \rightarrow V_0,使得对任意(x, y) \in U_0 \times V_0,只要f(x, y)=0,就有
y = \varphi (x)

参见[编辑]

参考来源[编辑]