隐含狄利克雷分布

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隐含狄利克雷分布简称LDA(Latent Dirichlet allocation),是一种主题模型,它可以将文档集中每篇文档的主题按照概率分布的形式给出。同时它是一种无监督学习算法,在训练时不需要手工标注的训练集,需要的仅仅是文档集以及指定主题的数量k即可。此外LDA的另一个优点则是,对于每一个主题均可找出一些词语来描述它。

LDA首先由Blei, David M.、吴恩达和Jordan, Michael I于2003年提出[1],目前在文本挖掘领域包括文本主题识别、文本分类以及文本相似度计算方面都有应用。

数学模型[编辑]

LDA是一种典型的词袋模型,即它认为一篇文档是由一组词构成的一个集合,词与词之间没有顺序以及先后的关系。一篇文档可以包含多个主题,文档中每一个词都由其中的一个主题生成。

LDA贝叶斯网络结构

另外,正如Beta分布二项式分布的共轭先验概率分布,狄利克雷分布作为多项式分布的共轭先验概率分布。因此正如LDA‎贝叶斯网络结构中所描述的,在LDA模型中一篇文档生成的方式如下:

  • 从狄利克雷分布\alpha 中取样生成文档i的主题分布\theta_i
  • 从主题的多项式分布\theta_i中取样生成文档i第j个词的主题z_{i, j}
  • 从狄利克雷分布\beta 中取样生成主题z_{i, j}的词语分布\phi_{z_{i, j}}
  • 从词语的多项式分布\phi_{z_{i, j}}中采样最终生成词语w_{i, j}

因此整个模型中所有可见变量以及隐藏变量的联合分布

p(w_i, z_i, \theta_i, \Phi | \alpha, \beta) = \prod_{j = 1}^{N} p(\theta_i|\alpha)p(z_{i, j}|\theta_i)p(\Phi|\beta)p(w_{i, j}|\theta_{z_{i, j}})

最终一篇文档的单词分布的最大似然估计可以通过将上式的\theta_i以及\Phi进行积分和对z_i进行求和得到

p(w_i | \alpha, \beta)  = \int_{\theta_i}\int_{\Phi }\sum_{z_i}p(w_i, z_i, \theta_i, \Phi | \alpha, \beta)

根据p(w_i | \alpha, \beta) 的最大似然估计,最终可以通过吉布斯采样等方法估计出模型中的参数。

使用吉布斯采样估计LDA参数[编辑]

在LDA最初提出的时候,人们使用EM算法进行求解,后来人们普遍开始使用较为简单的Gibbs Sampling,具体过程如下:

  • 首先对所有文档中的所有词遍历一遍,为其都随机分配一个主题,即zm,n=k~Mult(1/K),其中m表示第m篇文档,n表示文档中的第n个词,k表示主题,K表示主题的总数,之后将对应的n(k)m+1, nm+1, n(t)k+1, nk+1, 他们分别表示在m文档中k主题出现的次数,m文档中主题数量的和,k主题对应的t词的次数,k主题对应的总词数。
  • 之后对下述操作进行重复迭代。
  • 对所有文档中的所有词进行遍历,假如当前文档m的词t对应主题为k,则n(k)m-1, nm-1, n(t)k-1, nk-1, 即先拿出当前词,之后根据LDA中topic sample的概率分布sample出新的主题,在对应的n(k)m, nm, n(t)k, nk上分别+1。

p(z_i=k|z_{-i},w)(n^{(t)}_{k,-i}+\beta_t)(n_{m,-i}^{(k)}+\alpha_k)/(\sum_{t=1}^{V}n_{k,-i}^{(t)}+\beta_t)

  • 迭代完成后输出主题-词参数矩阵φ和文档-主题矩阵θ

\phi_{k,t}=(n_k^{(t)}+\beta_t)/(n_k+\beta_t)

\theta_{m,k}=(n_m^{(k)}+\alpha_k)/(n_m+\alpha_k)

参考文献[编辑]

  1. ^ Blei, David M.; Ng, Andrew Y.; Jordan, Michael I. Latent Dirichlet allocation. In Lafferty, John. Journal of Machine Learning Research. 2003.January, 3 (4–5): pp. 993–1022. doi:10.1162/jmlr.2003.3.4-5.993.