隨機微分方程

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隨機微分方程微分方程的擴展。一般微分方程的對象為可導函數,並以其建立等式。然而,隨機過程函數本身的導數不可定義,是故一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程。隨機微分方程多用於對一些多样化现象进行建模,比如不停变动的股票价格,部分物理现象如热扰动等。

隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式,由Einstein在他的那篇著名的論文中提出。这项研究隨後由Langevin继续。此後伊藤清和Stratonovich完善了隨機微分方程的數學基礎,使得這門領域更加的科學嚴謹。

一般而言,隨機微分方程的解是一隨機過程函數,但解方程需要先定義隨機過程函數的微分。最常見的定義為根據伊藤清所創,假設B布朗運動,則對於某函數H,作以下定積分之定義:

\int_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).

此稱為伊藤積分。伊藤式的隨機微分方程常用於在金融數學中。

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