雅可比橢圓函數

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數學中,雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於之類的應用問題,並具有與三角函數相似的性質。

介紹[编辑]

雅可比矩形

雅可比橢圓函數有十二種,各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 s\, c\, d\, n\,

視此矩形為複數平面的一部分,s \, 是原點,c\, 是實軸上的一點 K,d \,K+{\rm{i}}K'\,n\,{\rm{i}}K'\,K\,{\rm{i}}K'\, 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為  {\rm{sc}} , {\rm{sd}} , {\rm{sn}} , {\rm{cs}} , {\rm{cd}} , {\rm{cn}} , {\rm{ds}} , {\rm{dc}} , {\rm{dn}} , {\rm{ns}} , {\rm{nc}} , {\rm{nd}} \,。為方便起見,取變數 p, q \,意指矩形上的任一對頂點,則函數 pq\, 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

  • p\, 是單零點,q\, 是單極點。
  • pq\,\vec{pq} 方向的週期等於 p,q\, 距離的兩倍。對另兩個從 p \,出發的方向,pq \,亦滿足同樣性質。
  • pq\, 在頂點 p \, q\, 的展式首項係數均為一。

表列如次:

函數 週期 零點 極點 留數
\mathrm{sn}\,(z; k) 4\, K,\ 2 \,\mathrm{i} K' 2m K + 2 \,n\,\mathrm{i}\, K' 2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K ' (-1)^m\frac{1}{k}
\mathrm{cn}\,(z; k) 4\, K,\ 2 \,(K + \mathrm{i} K') (2m+1) \,K + 2\,n\,\mathrm{i}\, K' 2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K' (-1)^{m+n}\frac{1}{{\rm{i}}k}
\mathrm{dn}\,(z; k) 2\, K,\ 4\,\mathrm{i} K' (2\,m + 1)\, K + 2 \,(n+1)\,\mathrm{i}\, K' 2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K' (-1)^{n-1}{\rm{i}}\,
n\,m\, 是整數

一般而言,須以平行四邊形代替上述矩形,以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆[编辑]

以上定義略顯抽象,更具體的定義是將之表為某類橢圓積分之逆。設

u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.

橢圓函數 sn u 定義為

\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,

而 cn u 定義為

\operatorname {cn}\; u = \cos \phi

同理,

\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,

這裡的 m \in \mathbb{R} 是自由變元,通常取 0 \leq m \leq 1

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數[编辑]

  • \mathrm{Arcsn}\,(x,k) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
  • \mathrm{Arccn}\,(x,k) =\int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2t^2)}}

用Theta函数来定义[编辑]

雅可比椭圆函数也可以用Theta 函数来定义。如果我们把\vartheta(0;\tau)简写为\vartheta,把\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)分别简写为\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}(Theta常数),那么椭圆模kk=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2。如果我们设u = \pi \vartheta^2 z,我们便有:

\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}
\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}
\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}

加法定理[编辑]

\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,
\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 \mathbb{P}^3(\mathbb{C}) 中兩個二次曲面之交,這同構於一條橢圓曲線。曲線上的運算由下列加法公式描述:

\operatorname{cn}(x+y) = 
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) 
- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},
\operatorname{sn}(x+y) = 
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},
\operatorname{dn}(x+y) = 
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) 
- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) 
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.

函数的平方之间的关系[编辑]


-\operatorname{dn}^2(u)+(1-k^2)= -k^2\;\operatorname{cn}^2(u) = k^2\;\operatorname{sn}^2(u)-k^2

(k^2-1)\;\operatorname{nd}^2(u)+(1-k^2)= k^2(k^2-1)\;\operatorname{sd}^2(u) = k^2\;\operatorname{cd}^2(u)-k^2

(1-k^2)\;\operatorname{sc}^2(u)+(1-k^2)= (1-k^2)\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-k^2

\operatorname{cs}^2(u)+(1-k^2)=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-k^2

常微分方程的解[编辑]

三个基本的雅可比椭圆函数的导数为:


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).

根据以上的加法定理,可知它们是以下非线性常微分方程的解:

  • \mathrm{sn}\,(x;k)是微分方程\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0, \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)的解;
  • \mathrm{cn}\,(x;k)是微分方程\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0, \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)的解;
  • \mathrm{dn}\,(x;k)是微分方程\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0, \left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)的解。

图像[编辑]

JacobiSN.png
JacobiCN.png
JacobiDN plot.png

文獻[编辑]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4.  第16章
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3