雅可比橢圓函數

在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。

介紹

雅可比矩形

雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 $s\,$ $c\,$ $d\,$ $n\,$。

視此矩形為複數平面的一部分，$s \,$ 是原點，$c\,$ 是實軸上的一點 $K,d \,$ 是 $K+{\rm{i}}K'\,$，$n\,$ 是 ${\rm{i}}K'\,$。$K\,$ 與 ${\rm{i}}K'\,$ 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 ${\rm{sc}} , {\rm{sd}} , {\rm{sn}} , {\rm{cs}} , {\rm{cd}} , {\rm{cn}} , {\rm{ds}} , {\rm{dc}} , {\rm{dn}} , {\rm{ns}} , {\rm{nc}} , {\rm{nd}} \,$。為方便起見，取變數 $p, q \,$意指矩形上的任一對頂點，則函數 $pq\,$ 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

• $p\,$ 是單零點，$q\,$ 是單極點。
• $pq\,$ 在 $\vec{pq}$ 方向的週期等於 $p,q\,$ 距離的兩倍。對另兩個從 $p \,$出發的方向，$pq \,$亦滿足同樣性質。
• $pq\,$ 在頂點 $p \,$ $q\,$ 的展式首項係數均為一。

表列如次：

函數	週期	零點	極點	留數
$\mathrm{sn}\,(z; k)$	$4\, K,\ 2 \,\mathrm{i} K'$	$2m K + 2 \,n\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K '$	$(-1)^m\frac{1}{k}$
$\mathrm{cn}\,(z; k)$	$4\, K,\ 2 \,(K + \mathrm{i} K')$	$(2m+1) \,K + 2\,n\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$	$(-1)^{m+n}\frac{1}{{\rm{i}}k}$
$\mathrm{dn}\,(z; k)$	$2\, K,\ 4\,\mathrm{i} K'$	$(2\,m + 1)\, K + 2 \,(n+1)\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$	$(-1)^{n-1}{\rm{i}}\,$
$n\,$ 與 $m\,$ 是整數

一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆

以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分之逆。設

$u=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-m \sin^2 \theta}}.$

橢圓函數 sn u 定義為

$\operatorname {sn}\; u = \sin \phi\,$

而 cn u 定義為

$\operatorname {cn}\; u = \cos \phi$

同理，

$\operatorname {dn}\; u = \sqrt {1-m\sin^2 \phi}.\,$

這裡的 $m \in \mathbb{R}$ 是自由變元，通常取 $0 \leq m \leq 1$。

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數

• $\mathrm{Arcsn}\,(x,k) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}$
• $\mathrm{Arccn}\,(x,k) =\int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2+k^2t^2)}}$

用Theta函数来定义

雅可比椭圆函数也可以用Theta 函数来定义。如果我们把$\vartheta(0;\tau)$简写为$\vartheta$，把$\vartheta_{01}(0;\tau), \vartheta_{10}(0;\tau), \vartheta_{11}(0;\tau)$分别简写为$\vartheta_{01}, \vartheta_{10}, \vartheta_{11}$（Theta常数），那么椭圆模k是$k=({\vartheta_{10} \over \vartheta})^2$。如果我们设$u = \pi \vartheta^2 z$，我们便有：

$\mbox{sn}(u; k) = -{\vartheta \vartheta_{11}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$

$\mbox{cn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta_{10}(z;\tau) \over \vartheta_{10} \vartheta_{01}(z;\tau)}$

$\mbox{dn}(u; k) = {\vartheta_{01} \vartheta(z;\tau) \over \vartheta \vartheta_{01}(z;\tau)}$

加法定理

$\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1,\,$

$\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1.\,$

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述：

$\operatorname{cn}(x+y) = {\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) - \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}},$

$\operatorname{sn}(x+y) = {\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}},$

$\operatorname{dn}(x+y) = {\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) - k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.$

函数的平方之间的关系

$-\operatorname{dn}^2(u)+(1-k^2)= -k^2\;\operatorname{cn}^2(u) = k^2\;\operatorname{sn}^2(u)-k^2$

$(k^2-1)\;\operatorname{nd}^2(u)+(1-k^2)= k^2(k^2-1)\;\operatorname{sd}^2(u) = k^2\;\operatorname{cd}^2(u)-k^2$

$(1-k^2)\;\operatorname{sc}^2(u)+(1-k^2)= (1-k^2)\;\operatorname{nc}^2(u) = \operatorname{dc}^2(u)-k^2$

$\operatorname{cs}^2(u)+(1-k^2)=\operatorname{ds}^2(u)=\operatorname{ns}^2(u)-k^2$

常微分方程的解

三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k),$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k).$

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解：

• $\mathrm{sn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)$的解；

• $\mathrm{cn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)$的解；

• $\mathrm{dn}\,(x;k)$是微分方程$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0,$和$\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (y^2 - 1) (1 - k^2 - y^2)$的解。

文獻

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds.. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972 [2007-07-25]. ISBN 0-486-61272-4.  見 第16章

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3

• Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
• H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
• A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)