雅可比猜想

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雅可比猜想(Jacobian conjecture)是多變量多項式的一個著名問題,最初是由數學家Keller於1939年提出,之後Shreeram Abhyankar取現名,並將之廣為傳播,以作為代數幾何的問題中,只需稍多於微積分的知識就能闡述的一個例子。

雅可比猜想之所以聞名,因為有很多試圖解決猜想的證明,都有藏於細節中的錯誤。這猜想直至2013年仍未解決。

雅可比行列式[编辑]

n>1為固定的整數,考慮多項式F1, ... , Fn,變量為X=(X1, ... , Xn),係數在特徵為零的代數閉域k中。(可假設k為複數域\mathbb C。)也就是說F_1,\ldots, F_n\in k[X]。定義函數F: knkn

F(c1, ... , cn)=(F1(c1, ... , cn), ... , Fn(c1, ... , cn))

函數F雅可比行列式JF是由F的偏導數組成的n×n矩陣的行列式

J_F = \left | \begin{matrix} \frac{\partial F_1}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial X_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial F_n}{\partial X_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial X_n} \end{matrix} \right |,

JF也是變量為X的多項式函數。

敘述[编辑]

多變量微積分反函數定理指出如在某一點有JF ≠ 0,那麼在該點附近F有反函數。由於k是代數閉域,JF是多項式,因此JF必定在某些點上為0,除非JF是非零的常數函數。以下是一項基本結果:

F反函數G: knkn,則JF是非零的常數函數

而其反命題則為雅可比猜想:
k為一特徵為零的代數閉。若

  1. F=(F_1,\dots,F_n)\in k[X]\times k[X]\times\dots k[X],
  2. JF是非零常數函數,(等價於以下條件:對於所有的x\in k^nF'(x)皆是可逆線性變換

F反函數,且此反函數亦屬於k[X]

外部連結[编辑]