集合划分

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把一個集合划分成6块的欧拉图表示。

数学中,集合X划分是把X分割到覆盖了X的全部元素而又不重叠的“部分”或“”或“单元”中。更加形式的说,这些“单元”對于被划分的集合是既全无遗漏相互排斥的。

定义[编辑]

集合X的划分是X非空子集的集合,使得所有X的元素x都只包含在这些子集的其中一个内。

等价的说,X的子集的集合PX的划分,如果

  1. 没有P的元素是空集。(NB - 某些定义不需要这个要求)
  2. P的元素的并集等于X。(我们称P的元素覆盖X。)
  3. P的任何两个元素的交集为空。(我们称P的元素是两两不相交。)

P的元素有时叫作划分的部分[1]

当我们说“集合”这个概念时,划分的思想已经存在了。当我们说给定一个集合时,也就给定了该集合的补集。一个集合与它的补集就已经构成了一个划分。因此说上面的定义是再次划分的定义。可以说划分和定义是一个概念。原始定义也就是初始划分。原始定义和公理又是一个概念。给定一个公理也就是给定一个划分。

例子[编辑]

  • 所有单元素集合{x}都有精确的一个划分就是{ {x} }。
  • 对于任何集合XP = {X}是X的一个划分。
  • 空集有精确的一个划分,就是没有块的划分。
  • 对于集合U的任何非空真子集AA和它的补集一起是U的一个划分。
  • 如果我们不使用前面定义中的公理1,则上述例子可以推广为任何(空和非空)子集与它的补集一起是一个划分。
  • 集合{ 1, 2, 3 }有五个划分。
    • { {1}, {2}, {3} },有时標示为1/2/3。
    • { {1, 2}, {3} },有时標示为12/3。
    • { {1, 3}, {2} },有时標示为13/2。
    • { {1}, {2, 3} },有时標示为1/23。
    • { {1, 2, 3} },有时標示为123。
  • 注意
    • 如果我们使用了前面定义中的公理1,则{ {}, {1,3}, {2} }不是一个划分(因为它包含空集);否则它是{1, 2, 3}的一个划分。
    • { {1, 2}, {2, 3} }不是(任何集合的)一个划分,因为元素2包含在多于一个不同的子集中。
    • { {1}, {2} }不是{1, 2, 3}的一个划分,因为没有块包含3;但它是{1, 2}的一个划分。

划分和等价关系[编辑]

如果一个等价关系给出在集合X上,则所有等价类的集合形成X的一个划分。反过来说,如果一个划分P给出在X上,我们可以定义在X上的写为x ~ y的等价关系,当且仅当存在P的一个成员包含xy二者。“等价关系”和“划分”的概念因此本质上是等价的。[2]

注解[编辑]

  1. ^ Brualdi, pp. 44-45
  2. ^ Schechter, p. 54

引用[编辑]

  • Brualdi, Richard A. Introductory Combinatorics 4th edition. Pearson Prentice Hall. 2004. ISBN 0131001191. 
  • Schechter, Eric. Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. 1997. ISBN 0126227608. 

参见[编辑]