集合划分

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在数学中，集合 X 的划分是把 X 分割到覆盖了 X 的全部元素的不交叠的“部分”或“块”或“单元”中。更加形式的说，这些“单元”关于被划分的集合是既全无遗漏又相互排斥的。

目录 1 定义 2 例子 3 划分和等价关系 4 注解 5 引用 6 参见

[编辑] 定义

集合 X 的划分是 X 的非空子集的集合，使得所有 X 的元素 x 都精确在这些子集的其中一个内。

等价的说，X 的子集的集合 P 是 X 的划分，如果

1. 没有 P 的元素是空集。(NB - 某些定义不需要这个要求)
2. P 的元素的并集等于 X。(我们称 P 的元素覆盖 X。)
3. P 的任何两个元素的交集为空。(我们称 P 的元素是两两不相交。)

P 的元素有时叫做划分的块或部分。^[1]

[编辑] 例子

• 所有单元素集合 {x} 都有精确的一个划分就是 { {x} }。
• 对于任何集合 X，P = {X} 是 X 的一个划分。
• 空集有精确的一个划分，就是没有块的划分。
• 对于集合 U 的任何非空真子集 A，A 和它的补集一起是 U 的一个划分。
• 如果我们不使用前面定义中的公理 1，则上述例子可以推广为任何(空和非空)子集与它的补集一起是一个划分。
• 集合 { 1, 2, 3 } 有五个划分。
  • { {1}, {2}, {3} }，有时指示为 1/2/3。
  • { {1, 2}, {3} }，有时指示为 12/3。
  • { {1, 3}, {2} }，有时指示为 13/2。
  • { {1}, {2, 3} }，有时指示为 1/23。
  • { {1, 2, 3} }，有时指示为 123。
• 注意
  • 如果我们使用了前面定义中的公理 1，则 { {}, {1,3}, {2} } 不是一个划分(因为它包含空集)；否则它是 {1, 2, 3} 的一个划分。
  • { {1,2}, {2, 3} } 不是(任何集合的)一个划分，因为元素 2 包含在多于一个不同的子集中。
  • { {1}, {2} } 不是 {1, 2, 3} 的一个划分，因为没有块包含 3；但它是 {1, 2} 的一个划分。

[编辑] 划分和等价关系

如果一个等价关系给出在集合 X 上，则所有等价类的集合形成 X 的一个划分。反过来说，如果一个划分 P 给出在 X 上，我们可以定义在 X 上的写为 x ~ y 的等价关系，当且仅当存在 P 的一个成员包含 x 和 y 二者。“等价关系”和“划分”的概念因此本质上是等价的。^[2]

[编辑] 注解

1. ^ Brualdi, pp. 44-45
2. ^ Schechter, p. 54

[编辑] 引用

• Brualdi, Richard A.（2004）．Introductory Combinatorics，4th edition，Pearson Prentice Hall．ISBN 0131001191． 
• Schechter, Eric（1997）．Handbook of Analysis and Its Foundations．Academic Press．ISBN 0126227608． 

[编辑] 参见

• 等价关系
• 等价类