集合范畴

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範疇論這個數學領域中,集合範疇(標計為 Set)是一個對象為集合範疇。集合 AB 之間的態射族包含所有從 A 映射至 B 的函數。

集合範疇是許多其他範疇(如其態射為群同態群範疇)的基礎,這些範疇均是在集合範疇的對象上附加其他結構,並限制其態射為特定函數而成。

證明集合範疇為範疇[编辑]

已知一數學物件具有對象及態射,若該數學物件存在一態射複合,滿足結合律,且具單位態射的話,則此數學物件為一範疇。

對任意三對象ABC,取任意兩函數f∈hom(A,B) 及g∈hom(B,C),可知其函數複合g o f 為由A 映射至C 的函數,故g o f∈hom(A,C)。 因此,此集合範疇之函數複合為態射複合。

函數複合滿足結合律,且具單位函數,因此集合範疇為一範疇。

性質[编辑]

由于罗素悖论,即所有集合的全体不能作为一个集合而存在,Set的对象为一真类。故Set大范畴

Set满态射满射函数单态射单射函数同构态射双射函数

Set始对象空集终对象为任意单元素集合Set零对象

Set完全和上完全范畴Set为集合的笛卡儿积上积不相交并:给定一组集合 AiiI),其上积可构造为Ai×{i}的。这里与{i}的笛卡儿积保证了并操作的不相交性。

Set具体范畴的原型;任何具体范畴均在某些方面类似Set

Set中任意一个二元素集合是一分类子。集合A幂对象为其幂集。从AB的指数对象为从AB函数的集合。因此,Set为一Topos (且为笛卡儿闭)。

Set既非阿贝尔范畴,也非加法范畴预加性范畴Set零态射

任一Set的非始对象为单射对象(也为投射对象)。