集合 (数学)
集合（或簡稱集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。最簡單的說法，即是在最原始的集合論─樸素集合論─中的定義，集合就是“一堆東西”。集合裡的“東西”，叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素，記作 x ∈ A。
集合是现代数学中一个重要的基本概念。集合论的基本理论直到十九世纪末才被创立，现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分，在小学时就开始学习了。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍；更详细的分析可见朴素集合论。对集合进行严格的公理推导可见公理化集合论。
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导言 [编辑]
定义 [编辑]
简单来说，所谓的一个集合'就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。
符号 [编辑]
元素則通常用a,b,c,d或x等小写字母來表示；而集合通常用 A，B，C，D或X等字母來表示。 當元素 a 属于集合 A 時,记作 a∈A。 假如元素 a 不属于 A，则记作 a∉A。 如果 A 和 B 两个集合各自所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 A = B。
集合的特性 [编辑]
无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
- 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论）
互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
- 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
集合的表示 [编辑]
- 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如：
- A = 大于零的前三个自然数
- B = 红色、白色、蓝色和绿色
- 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如：
- C = {1, 2, 3}
- D = {红色，白色，蓝色，绿色}
尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A = C 而 B = D，因为它们正好有相同的元素。
元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合 {2, 4}，{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的，同样因为它们有相同的元素。
- 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。
集合的元素个数 [编辑]
上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素，而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。數學寫法有很多種,不同作者及不同書本用不同的寫法: 
。
- 若 A 是 B 的子集 (即 A ⊂ B):
- 若 A 和 B 是任何兩個集:
集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 
或符号 
表示。比如：在2004年，集合 A 是所有住在月球上的人，它没有元素，则 A = 。就像数字零，看上去微不足道，而在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。
如果集合含有有限个元素，那么这个集合可以称为有限集。
集合也可以有无穷多个元素。比如：自然数的集合是无穷大的。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。
集合间的关系 [编辑]
子集与包含关系 [编辑]
定义 [编辑]
集合A，B，若∀a∈A，有a∈B；A⊆B。则称A是B的子集，亦称A包含于B，或B包含A，记作A⊆B。
若A⊆B，且A≠B，则称A是B的真子集，亦称A真包含于B，或B真包含A，记作A⊂B。
基本性质 [编辑]
- 包含关系“⊆”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质：
- 自反性：∀集合S，S⊆S；（任何集合都是其本身的子集）
- 反对称性：A⊆B且B⊆A ⇔ A=B；（这是证明两集合相等的常用手段之一）
- 传递性：A⊆B且B⊆C ⇒ A⊆C；
- 真包含关系“⊂”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质：
- 反自反性：∀集合S，S⊂S都不成立；
- 非对称性：A⊂B ⇒ B⊂A不成立；反之亦然；
- 传递性：A⊂B且B⊂C ⇒ A⊂C；
- 显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而Ø是这个偏序关系的最小元素，即：∀集合S，Ø⊆S；且若S≠Ø，则Ø⊂S，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）
举例 [编辑]
-
- 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
- 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。
- {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
集合的运算 [编辑]
併 [编辑]
两个集合可以相"加"。A和B的聯集是将A和B的元素放到一起构成的新集合。
定义 [编辑]
给定集合A，B，定义运算∪如下：A∪B = {e|e∈A 或 e∈B}。A∪B称为A和B的聯集。
示例 [编辑]
-
- {1, 2} ∪ {红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}
- {1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色}
- {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
基本性质 [编辑]
作为集合间的二元运算，∪运算具有以下性质。
交 [编辑]
一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。A 和 B 的交集，写作 A ∩ B，是既属于 A 的、又属于 B 的所有元素组成的集合。
若 A ∩ B = ，则 A 和 B 称作不相交。
定义 [编辑]
给定集合A，B，定义运算∩如下：A∩B = {e|e∈A 且 e∈B}。A∩B称为A和B的交集。
基本性质 [编辑]
作为集合间的二元运算，∩运算具有以下性质。
其它性质还有：
- A⊆B ⇒ A∩B = A
示例 [编辑]
-
- {1, 2} ∩ {红色, 白色} =
- {1, 2, 绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色}
- {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
- {1, 2} ∩ {红色, 白色} =
差 [编辑]
两个集合也可以相"减"。A 在 B 中的相对补集，写作 B − A，是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。
在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样， U − A 称作 A 的绝对补集，或简称补集（餘集），写作 A′或CUA。
补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。
定义 [编辑]
给定集合A，B，定义运算-如下：A - B = {e|e∈A 且 e
B}。A - B称为B对于A的差集，相对补集或相对余集。
在上下文确定了全集U时，对于U的某个子集A，一般称U - A为A（对于U）的补集或余集，通常记为A'或
，也有记为CUA的。
基本性质 [编辑]
作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质：
示例 [编辑]
-
- {1, 2} − {红色, 白色} = {1, 2}
- {1, 2, 绿色} − {红色, 白色, 绿色} = {1, 2}
- {1, 2} − {1, 2} =
- 若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数
對稱差 [编辑]
定义 [编辑]
给定集合A，B，定义对称差运算△如下：A△B = (A-B)∪(B-A)。
基本性质 [编辑]
作为集合间的二元运算，△运算具有如下基本性质：
- 交换律：A△B = B△A；
- 结合律：(A△B)△C = A△(B△C)；
- 幂幺律：A△A = ；
- 幺元：∀集合A，A△ = A；（是△运算的幺元）。
- 逆元：由幂幺律知，任何集合是它自己在△运算下的逆元。
集合的其它名稱 [编辑]
在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：
- 族、系 通常指它的元素也是一些集合。
公理集合論 [编辑]
把集合看作“一堆東西”會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。
類 [编辑]
在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。
类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算是并不都能进行的。
定义 类A如果满足条件“
”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为
。否则称为本性类。
这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。
引用 [编辑]
- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.
