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集合 (数学)

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集合(或簡稱)是基本的数学概念,它是集合论的研究对象,指具有某种特定性质的事物的总体,(在最原始的集合論─樸素集合論─中的定義,集合就是“一堆東西”。)集合裡的事物(“东西”),叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素,記作 xA

集合是现代数学中一个重要的基本概念,而集合论的基本理论是在十九世纪末被创立的。这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍,另外可參见朴素集合论;關於对集合作公理化的理論,可见公理化集合论

导言[编辑]

定义[编辑]

简单来说,所谓的一个集合,就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。

在數學交流當中為了方便,集合會有一些別名。比如:

  • 族、系 通常指它的元素也是一些集合。

符号[编辑]

元素則通常用a,\ b,\ c,\ d,\ x等小写字母來表示;而集合通常用\mathbf{A,\ B,\ C,\ D,\ X}等字母來表示。

當元素a属于集合\mathbf{A}時,记作a\in\mathbf{A}

当元素a不属于集合\mathbf{A}时,记作a\not \in\mathbf{A}

如果\mathbf{A ,\ B}两个集合各自所包含的元素完全一样,则二者相等,写作\mathbf{A = B}

集合的特性[编辑]

无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。

  • 集合上可以定义序关系,定义了序关系后,元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言,元素之间没有必然的序。(参见序理论

互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。

  • 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画,可以使用多重集,其中的元素允许出现多次。

确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。

集合的表示[编辑]

  • 集合可以用文字或数学符号描述,称为描述法,比如:
A = 大于零的前三个自然数
B = 红色、白色、蓝色和绿色
  • 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素,称为列举法,比如:
C = {1, 2, 3}
D = {红色,白色,蓝色,绿色}

尽管两个集合有不同的表示,它们仍可能是相同的。比如:上述集合中,A = CB = D,因为它们正好有相同的元素。

元素列出的顺序不同,或者元素列表中有重复,都没有关系。比如:这三个集合 {2, 4},{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的,同样因为它们有相同的元素。

  • 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示,更多信息,请见文氏图

集合间的关系[编辑]

子集与包含关系[编辑]

定义[编辑]

集合A,B,若∀a∈A,有a∈B;A⊆B。则称A是B的子集,亦称A包含于B,或B包含A,记作A⊆B。

若A⊆B,且A≠B,则称A是B的真子集,亦称A真包含于B,或B真包含A,记作A⊂B。

B 的子集 A

基本性质[编辑]

  • 包含关系“⊆”是集合间的一个非严格偏序关系,因为它有如下性质:
    • 自反性:∀集合S,S⊆S;(任何集合都是其本身的子集)
    • 反对称性:A⊆B且B⊆A ⇔ A=B;(这是证明两集合相等的常用手段之一)
    • 传递性:A⊆B且B⊆C ⇒ A⊆C;
  • 真包含关系“⊂”是集合间的一个严格偏序关系,因为它有如下性质:
    • 反自反性:∀集合S,S⊂S都不成立;
    • 非对称性:A⊂B ⇒ B⊂A不成立;反之亦然;
    • 传递性:A⊂B且B⊂C ⇒ A⊂C;
  • 显然,包含关系,真包含关系定义了集合间的偏序关系。而Ø是这个偏序关系的最小元素,即:∀集合S,Ø⊆S;且若S≠Ø,则Ø⊂S,(空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集)

举例[编辑]

  • 所有男人的集合是所有人的集合的真子集
  • 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

集合的运算[编辑]

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两个集合可以相"加"。A和B的聯集是将A和B的元素放到一起构成的新集合。

定义[编辑]

给定集合A,B,定义运算∪如下:A∪B = {e|e∈A 或 e∈B}。A∪B称为A和B的聯集

A 和 B 的聯集

示例[编辑]

  • {1, 2} ∪ {红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}
  • {1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色}
  • {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

基本性质[编辑]

作为集合间的二元运算,∪运算具有以下性质。

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一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。AB交集,写作 A ∩ B,是既属于 A 的、又属于 B 的所有元素组成的集合。

A ∩ B  =  \varnothing,则 AB 称作不相交

A 和 B 的交集

定义[编辑]

给定集合A,B,定义运算∩如下:A∩B = {e|e∈A 且 e∈B}。A∩B称为A和B的交集

基本性质[编辑]

作为集合间的二元运算,∩运算具有以下性质。

其它性质还有:

  • A⊆B ⇒ A∩B = A

示例[编辑]

  • {1, 2} ∩ {红色, 白色} = \varnothing
  • {1, 2, 绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色}
  • {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

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两个集合也可以相"减"。AB 中的相对补集,写作 B − A,是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。

在特定情况下,所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样, U − A 称作 A绝对补集,或简称补集(餘集),写作 A′或CUA

相对补集 A - B

补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集

定义[编辑]

给定集合A,B,定义运算-如下:A - B = {e|e∈A 且 e\notinB}。A - B称为B对于A的差集相对补集相对余集

在上下文确定了全集U时,对于U的某个子集A,一般称U - A为A(对于U)的补集余集,通常记为A'或\bar{A},也有记为CUA的。

基本性质[编辑]

作为集合间的二元运算,- 运算有如下基本性质:

  • A - A = \varnothing
  • 幺元:∀集合A,A - \varnothing = A;(\varnothing是 - 运算的右幺元)。
  • 零元:∀集合A,\varnothing - A = \varnothing;(\varnothing是 - 运算的左零元)。

示例[编辑]

  • {1, 2} − {红色, 白色} = {1, 2}
  • {1, 2, 绿色} − {红色, 白色, 绿色} = {1, 2}
  • {1, 2} − {1, 2} = \varnothing
  • U 是整数集,则奇数的补集是偶数

對稱差[编辑]

定义[编辑]

给定集合A,B,定义对称差运算△如下:A△B = (A-B)∪(B-A)。

基本性质[编辑]

作为集合间的二元运算,△运算具有如下基本性质:

  • 交换律:A△B = B△A;
  • 结合律:(A△B)△C = A△(B△C);
  • 幂幺律:A△A = \varnothing
  • 幺元:∀集合A,A△\varnothing = A;(\varnothing是△运算的幺元)。
  • 逆元:由幂幺律知,任何集合是它自己在△运算下的逆元。

集合的元素个数[编辑]

上述每一个集合都有确定的元素个数;比如:集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数數學寫法有很多種,不同作者及不同書本用不同的寫法: \mathrm{Card}(A),\ \# A,\ |A|,\ \bar{A},\ \bar{\bar{A}}

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集,用 \{\} 或符号 \varnothing 表示。比如:在2004年,集合 A 是所有住在月球上的人,它没有元素,则 A = \varnothing。在数学上,空集非常重要。更多信息请看空集

如果集合只含有限个元素,那么这个集合可以称为有限集合

集合也可以有无穷多个元素,這樣的集合称为无限集合。比如:自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的

公理集合論[编辑]

若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”,會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论,數學家提出公理化集合论。在公理集合论中,集合是一个不加定义的概念。

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在更深層的公理化数学中,集合仅仅是一种特殊的,是“良性类”,是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种:一种是可以顺利进行类运算的“良性类”,我们把这种“良性类”称为集合;另一种是要限制运算的“本性类”,对于本性类,类运算并不是都能进行的。

定义 类A如果满足条件“\exists B(A\in B)”,则称类A为一个集合(简称为),记为Set(A)。否则称为本性类

这说明,一个集合可以作为其它类的元素,但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

参考文献[编辑]

参见[编辑]