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集膚效應

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理想中(圖左)電子在導體中以平均分佈的方式傳導流通,集膚效應(圖右)則是電子集中在導體的近外膚位置上流通,使橫切面的核心部位呈現空泛狀態,進而使電流輸送量減少。

集膚效應(又称趋肤效应)(英语:Skin effect)是指导体中有交流电或者交变电磁场时,导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度指数递减,即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看,导体的中心部分几乎没有电流流过,只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分,所以称为集膚效應。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生了涡旋电场,与原来的电流相抵消。

简介[编辑]

趋肤效应最早在贺拉斯·兰姆1883年的一份论文中提及,只限于球壳状的导体。1885年,奥利弗·赫维赛德将其推广到任何形状的导体。趋肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加,并导致导线传输电流时效率减低,耗费金属资源。在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到趋肤效应的影响。

理论[编辑]

在一个理想导体中,随着与导体表面的距离逐渐增加,导体内的电流密度 J指数递减

J= J_s \exp(-{x \over \delta} )

其中, J_s 是导体表面的电流密度, x 表示电流与导体表面的距离, \delta 是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数,称为趋肤深度

\delta=\sqrt{{2\rho}\over{\omega \mu}}

其中:

ρ =导体的电阻率
ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率
μ = 导体的绝对 磁导率 =  \mu_0 \cdot \mu_r ,其中 \mu_0 真空磁导率 \mu_r是导体的相对磁导率

对于很长的圆柱形导体,比如导线来说,如果它的直径  D \delta大很多的话,它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为 \delta的圆柱导体对直流电的电阻。

R={{\rho \over \delta}\left({L\over{\pi (D-\delta)}}\right)}\approx{{\rho \over \delta}\left({L\over{\pi D}}\right)}


其中:

L=导线的长度
D=导线直径

具体来说,假设I(r)是从离导线中心 r 处到导线表面的截面上通过的电流,I 为截面上的总电流,那么有:

\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}

其中 BerBei 为0 阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数(具体见下)。

圆柱形导体的模型[编辑]

考虑一个半径为 a ,长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是交变的,圆柱中有频率为 ω正弦交流电流。由麦克斯韦方程组

麦克斯韦-法拉第方程:


\mathrm{rot} \, \mathbf{E} = - i \, \omega \, \mathbf{B}

麦克斯韦-安培方程:


\mathrm{rot} \, \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}

其中:

在导体中,欧姆定律的微分形式为:


\mathbf{J} = \sigma \, \mathbf{E}

σ 是导体的电导率

我们假设导体是均匀的,于是导体各处的 μσ 都相同。于是有:


\mathrm{rot} \, \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mathbf{B}

\mathrm{rot} \, \mathbf{B} = \mu \, \mathbf{J}

圆柱坐标系 (r, θ, z) (z为圆柱导体的轴心) 中,设电磁波随 z 轴前进,由对称性,电流密度是一个只和 r 有关的函数:


\mathbf{J} = \begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}

取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度,就有:


\mathrm{rot} \, \mathrm{rot} \, \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mathrm{rot} \, \mathbf{B}

也就是:


\nabla \, \mathrm{div} \, \mathbf{J} - \Delta \mathbf{J} = - i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}

由之前对电流密度的假设,\mathrm{div} \, \mathbf{J} = 0,因此有:


\Delta \mathbf{J} = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, \mathbf{J}

在圆柱坐标系中,拉普拉斯算子 \Delta 写作:


\frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + \frac{1}{r} \, \frac{d\,j}{dr}(r) = i \, \omega \, \sigma \, \mu \, j(r)

k^2 = i \, \omega \, \sigma \, \mu ,再将方程两边乘上 r2 就得到电流密度应该满足的方程:


r^2 \, \frac{d^2\,j}{dr^2}(r) + r \, \frac{d\,j}{dr}(r) - r^2 \, k^2 \, j(r) = 0

在进行代换 \xi = i \, k \, r 后,方程变为一个齐次的贝塞尔方程:


\xi^2 \, \frac{d^2\,j}{d\xi^2}(\xi) + \xi \, \frac{d\,j}{d\xi}(\xi) + \xi^2 \, j(\xi) = 0

由电流密度在 r = 0 的连续性,方程的解具有 J_0(\xi)的形式,其中 J0 是零阶的第一类贝塞尔函数。于是:


j(r) = j_0 \, J_0(i \, k \, r)

其中j0是一个常数k为:


k = \sqrt{i} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \, \sqrt{\omega \, \sigma \, \mu} = \frac{1+i}{\delta}

其中 δ 是趋肤深度,\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \, \sigma \, \mu}}


i \, k = \frac{-1+i}{\delta} = e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2}}{\delta}

最后,电流密度为:


\begin{matrix}j(r) &=& j_0 \, J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta})\\
&=& j_0 \, (ber(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) + i \, bei(\frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}))\end{matrix}

其中berbei 是 0 阶的开尔文-贝塞尔函数

于是通过整个截面的电流总和就是:


\begin{matrix}I &=& \int_0^a j(r) \, 2 \, \pi \, r \, dr\\
&=& 2 \, \pi \, j_0 \int_0^a J_0(e^{i \, 3 \, \pi/4} \, \frac{\sqrt{2} \, r}{\delta}) \, r \, dr\\
&=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \int_0^{\sqrt{2} \, a / \delta} (ber(x) + i \, bei(x)) \, x \, dx\end{matrix}

BerBei 为相应的原函数:


Ber(x) = \int_0^x ber(x^\prime) \, x^\prime \, dx^\prime \qquad \mbox{ et } \qquad Bei(x) = \int_0^x bei(x^\prime) \, x^\prime \, dx^\prime

便有如下更简洁的形式:


I = \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left(Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})\right)

我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离 r 处的电流总和:


\begin{matrix}I(r) &=& \int_{a-r}^a j(r^\prime) \, 2 \, \pi \, r^\prime \, dr^\prime\\
&=& \pi \, \delta^2 \, j_0 \, \left( Ber(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta})- Ber(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\, a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\, r}{\delta})] \right)\end{matrix}

于是有电流的分布函数:

\frac{I(r)}{I} = \frac{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})-Ber(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta}) + i \, [Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) - Bei(\frac{\sqrt{2}\,r}{\delta})]}{Ber(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta}) + i \, Bei(\frac{\sqrt{2}\,a}{\delta})}


一般来说,在给定的频率下,使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是:

D_\mathrm{W} = {\frac{200~\mathrm{mm}}{\sqrt{f/\mathrm{Hz}}}}

以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线,交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大。

减缓趋肤效应的方法[编辑]

一种减缓趋肤效应的方法是采用所谓的利兹线(源自德语Litzendraht,意为“编织起来的线”)。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法,使得电磁场能够比较均匀地分布,这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后,产生显著趋肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。利兹线一般应用在高频交流电的传输中,可以同时减缓趋肤效应和邻近效应。

高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线,这样能使铝质部分的工作部分温度降低,减低电阻率,并且由于趋肤效应,电阻率较大的钢芯上承载极少的电流,因而无关紧要。

还有将实心导线换成空心导线管,中间补上绝缘材料的方法,这样可以减轻导线的重量。

在传输的频率在甚高频微波级别时,一般会使用(已知的除超导体外最好的导体)的导线,因为这时趋肤深度如此之浅,以至于更厚的银层已经是浪费了。

其它应用[编辑]

趋肤效应使得交变电流只通过导体的表面,因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用趋肤效应来为进行表面淬火,使钢材表面的硬度增大。

趋肤效应也可以描述为:导体中交变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减,因此在防晒霜中混入导体微粒(一般是氧化锌氧化钛),就能使阳光中的紫外线(高频电磁波)的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外,趋肤效应也是电磁屏蔽的方法之一,利用趋肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置,这也是电梯里手机信号不好的原因。

举例[编辑]

頻率為10 GHz(微波)時各種材料的集膚深度:

導體 δ(μm)
0.80
0.65
0.79
0.64

质导线中,趋肤深度和频率的关系大致如下:


频率 δ
60 Hz 8.57 mm
10 kHz 0.66 mm
100 kHz 0.21 mm
1 MHz 66 µm
10 MHz 21 µm


参见[编辑]

外部連結[编辑]

相關參考[编辑]

  • William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition,(2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639
  • Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386
  • Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above