雙代數

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數學中,域 K 上的雙代數是兼具 K 上之結合代數(具單位元)與餘代數的結構,而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數

定義[编辑]

相容性意味著餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態,這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態,因為兩者由相同的交換圖刻劃。

由單位圖表的對稱性,也可導出下述事實:如果 B 是雙代數,而且 B 具有良好的對偶空間 B^\vee(例如當 B 維度有限時),則 B^\vee 也帶有自然的雙代數結構。

圖表[编辑]

定義中的相容性由以下交換圖給出:

乘法與餘乘法相容:

Bialgebra commutative diagrams

乘法與餘單位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

餘乘法與單位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

單位元與餘單位元相容:

Bialgebra commutative diagrams

在此 \nabla_B: B \otimes_K B \to B 是代數乘法,而 \eta_B: K \to B 是代數之單位元。\Delta_B: B \to B \otimes_K B 是餘代數乘法,而 \epsilon_B: B \to K 是餘代數單位元。\tau_B: B \otimes B \to B \otimes B 定義為 \tau(x \otimes y) = y \otimes x

式子[编辑]

若以算式具體描述,則相容關係有如下之表示(在此採用省略 \Sigma 之 Sweedler 記法):

乘法與餘乘法相容:

(ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)} = a_{(1)}b_{(1)} \otimes a_{(2)}b_{(2)}\,

乘法與餘單位元相容:

\varepsilon(ab)=\varepsilon(a)\varepsilon(b)\;

餘乘法與單位元相容:

1_{(1)}\otimes 1_{(2)} = 1 \otimes 1 \,

單位元與餘單位元相容:

\varepsilon(1)=1.\;

在此我們省略代數乘法之映射 \nabla,而直接以兩項並置表之。同理,單位元 \eta 直接以單位元素 1 表示(對應到 \eta(1))。

相關文獻[编辑]

  • Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0

參見[编辑]