雙態系統

由於每一個銀原子最外層自旋1/2束縛電子的量子態只能是上旋 $|\uparrow\rangle$ 或下旋 $|\downarrow\rangle$ ，斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，顯示出這是一種雙態系統。

在量子力學裏，雙態系統是一種擁有兩個互相獨立的量子態的量子系統。更正式地說，雙態系統的希爾伯特空間是二維的，自由度是2。張成這空間的基底必須擁有兩個互相獨立的量子態基向量。

若雙態系統中的二個量子態有相同的能量，則雙態系統只存在尋常解，但若二個量子態之間有能量差，則會出現非尋常解。

雙態動力學

設定量子系統的不含時間哈密頓算符 $H\,\!$ ，其兩個互相獨立的本徵態是 $|a\rangle\,\!$ 與 $|b\rangle\,\!$ ，滿足

$H |a\rangle=E_a |a\rangle\,\!$ ，

$H |b\rangle=E_b |b\rangle\,\!$ ；

其中，$E_a\,\!$ 與 $E_b\,\!$ 分別為 $|a\rangle\,\!$ 與 $|b\rangle\,\!$ 的能量本徵值。

設定在某時間 $t_0\,\!$ ，量子系統的量子態為

$|\psi(t_0)\rangle=c_a|a\rangle+c_b|b\rangle\,\!$ ；

其中，$c_a\,\!$ 與 $c_b\,\!$ 是複值常數，分別是 $|\psi(t_0)\rangle\,\!$ 處於 $|a\rangle\,\!$ 與 $|b\rangle\,\!$ 的機率幅。

那麼，隨著時間的演化，在時間 $t\,\!$ ，量子系統的量子態為

$|\psi(t)\rangle = c_a e^{ - i E_a(t - t_0)/\hbar}|a\rangle+ c_b e^{ - i E_b(t - t_0)/\hbar}|b\rangle\,\!$ 。

假設，一個多態系統只能夠處於最低能量的兩個量子態。那麼，這多態系統有效地變成了一個雙態系統，可以應用雙態系統模型來解析這多態系統。

例子

自旋1/2粒子

自旋1/2粒子是一個標準的雙態系統。自旋投影於 z-軸的分量 $S_Z\,\!$ ，其 $S_Z\,\!$ 算符的兩個本徵態是「自旋向上」態與「自旋向下」態。電子是一種自旋1/2粒子。設定一個朝著 z-軸方向的均勻磁場 $\mathbf{B}=B_0 \hat{\mathbf{z}}\,\!$ 作用於電子。這作用會造成電子能級的分裂。因為這作用，必須添加 $eB_0S_Z/m\,\!$ 這項目在哈密頓算符 $H\,\!$ 裏。假若原本的能級為 $E_0\,\!$ ，自旋向上態的能級會增加為 $E_0+eB_0/2m\,\!$ ；而自旋向下態的能級會降低為 $E_0 - eB_0/2m\,\!$ ；其中，$e\,\!$ 是單位電荷量，$m\,\!$ 是電子質量。

氨分子

氨分子的位於頂點的氮原子可以處於兩種量子態，在由三個氫原子設定的平面的上面，稱為「上」量子態，或是這平面的下面，稱為「下」量子態。所以，氨分子是一個雙態系統。由於上量子態與下量子態的能級相等，這雙態系統簡併。在一個垂直於氫原子平面的電場 $\mathbf{E}=\mathcal{E} \hat{\mathbf{z}}\,\!$ 裏，由於氨分子具有從氮原子指向氫原子的電偶極矩 $\mathbf{p}=p \hat{\mathbf{z}}\,\!$ ，造成了上量子態與下量子態的能級分裂。因為這作用，必須添加 $- \mathbf{p}\mathbf{E}\,\!$ 這項目在哈密頓算符 $H\,\!$ 裏。假若原本的能級為 $E_0\,\!$ ，上量子態的能級會增加為 $E_0+|p|\mathcal{E}\,\!$ ；而下量子態的能級會降低為 $E_0 - |p|\mathcal{E}\,\!$ 。所以，雙態系統變成不簡併系統。

量子計算機

在量子資訊科學裡，量子位元概念的基礎是雙態系統模型。

參閱

• 拉比周期
• 自旋-軌道作用

參考文獻

費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義 III (2) 量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 39–156. ISBN 986-417-672-2.