雙曲線扇形

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Hyperbolic sector.svg

雙曲線扇形是指在一個笛卡儿坐标平面 {(x,y)} 之上,雙曲線xy = 1與從原點(0, 0)出發的兩條射線相交處的兩點 (a, 1/a) (b, 1/b)之間的面積。

一個標準位置的雙曲線扇形有  a = 1  b > 1

處於標準位置的雙曲線扇形的面積是 \ln b

證明:

黃色部分的面積相等於三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}的面積加上雙曲線底下從1 b 的面積,再減去白色三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}的面積。所以,黃色部分的面積為:


\int_1^b {dx \over x} + {1 \over 2} - {1 \over 2} \times b \times {1 \over b} = \int_1^b {dx \over x} = \ln b

處於標準位置的雙曲線扇形與正值的雙曲角相對應。