雙曲群

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數學幾何群論上,雙曲群是指一種帶有度量,符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。

定義[编辑]

上的一個度量稱為左不變度量,如果群中任何兩個元素,被另外任一個元素左乘後,其間的距離仍保持不變。如果一個有一個左不變度量,使得這個群按度量空間而言,是一個格羅莫夫雙曲空間,就稱之為雙曲群

雙曲群中以字雙曲群最為常見。提到雙曲群時,通常就是指字雙曲群。一個有限生成群稱為字雙曲群(word hyperbolic group),如果群中有由某有限生成集賦予的字度量,令其成為格羅莫夫雙曲空間。換言之,取群中一個有限生成集合,將對應的凱萊圖每條邊長都定為1,那麼這個凱萊圖格羅莫夫雙曲空間。只要有對應某個有限生成集合的字度量有此性質,那麼對應任何有限生成集合的字度量,都會有相同性質。這是因為對應各個有限生成集合的字度量,都是擬等距同構的,而格羅莫夫雙曲性,在擬等距映射下不變。

例子[编辑]

  • 有限群
  • 逼肖循環(virtually cyclic)群
  • 有限生成自由群,更一般的凡是作用在局部有限上並有有限穩定子群的群。
  • 曲面群差不多都是雙曲群,確切而言任何歐拉特徵為負的閉曲面,基本群都是雙曲群。
  • 三角形群\triangle(l,m,n)差不多都是雙曲群,確切而言凡是1/l + 1/m + 1/n < 1的三角形群都是雙曲群,例如(2,3,7)三角形群
  • 有嚴格負曲率的緊緻黎曼流形的基本群
  • 餘緊緻及真不連續地作用在正態(proper)CAT(k)空間上且k < 0的群是雙曲群。這一類群包含所有上述例子,且給出與流形或樹無關的雙曲群。


參考[编辑]

  • Mikhail Gromov: Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75--263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.