雙曲複數

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

雙曲複數是異於複數的實數的推廣。

定義

考慮數$z=x+jy$，其中$x,y$是實數，而量$j$不是實數，但$j^2$是實數。

選取$j^2=-1$，得到一般複數。取$+1$的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

$(x+jy) + (u+jv) = (x+u) + j(y+v)$

$(x+jy)(u+jv) = (x+jy)(u)+(x+jy)(jv) = xu+jyu+jxv+j^2 yv = (xu+yv) + j(xv+yu)$

共軛、範數

對於$z=x+jy$，其共軛值$z^*=x-jy$。對於任何雙曲複數$z,w$，

$(z+w)^* = z^* + w^*$

$(zw)^* = z^* w^*$

$(z^*)^* = z$

可見它是自同構的。

定義內積為 $\langle z, w \rangle = Re(zw^*) = Re(zw^*) = xu-yv$ 。若$\langle z, w \rangle = 0$ ，說$z,w$（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

$\lVert z \rVert = \langle z, z \rangle = z z^* = z^* z = x^2 - y^2$。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：$\lVert zw \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert$。

除法

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

$z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{z^*}{z z^*} = \frac{z^*}{\lVert z \lVert}$

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為$k(1 \pm j)$，其中$k$是實數。

基

雙曲複數的冪等元有：

列方程$(x+jy)^2 = (x^2 + y^2) + 2xyj$。有四個解：$1,0,s=(1-j)/2,s^*=(1+j)/2$。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。$z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^*$ 。

若將$z=ae+be^*$表示成$(a,b)$，雙曲複數的乘法可表示成$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為$(a,b)^* = (b,a)$，範數$\lVert (a,b) \rVert = ab$。

幾何

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R^1,1。正如歐几里得平面R²的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的$a$，點集 $\{z : \lVert z \lVert = a^2 \}$ 是雙曲線。左邊和右邊的會經過$a$和$-a$。$a=1$稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是$\{z : \lVert z \lVert = -a^2 \}$ ，會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 $\{z : \lVert z \lVert = 0 \}$ 分開。

歐拉公式的相應版本是$e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)$。

歷史

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。