雙極圓柱坐標系

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雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 \sigma-等值曲線,藍色圓圈則是 \tau-等值曲線。

雙極圓柱坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 F_{1}F_{2} ,其直角坐標 (x,\ y) 分別設定為 ( - a,\ 0)(a,\ 0) 。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線,L_{1}L_{2} ,稱為焦線

基本定義[编辑]

雙極圓柱坐標 (\sigma,\ \tau,\ z) 通常定義為

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}
z = z

其中,點 P\sigma 坐標等於 \angle F_{1} P F_{2} 的弧度,\tau 坐標等於 d_1=F_1 Pd_2=F_2 P 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

注意到焦線 F_1F_2 的坐標分別為 x= - ax=a

坐標曲面[编辑]

雙極坐標的幾何詮釋。 \overline{F_1 P}\overline{F_2 P} 的夾角 \angle F_{1} P F_{2} 的弧度是 \sigmaF_1 PF_2 P 的比例的自然對數\tau\sigma\tau 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。

不同 \sigma坐標曲面是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線 L_1L_2 的圓柱面:

x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 \sigma 的圓柱面的圓心線都在 y>0 半空間;而負值 \sigma 的圓柱面的圓心線則在 y<0 半空間。當絕對值 \left| \sigma \right| 增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時,\left| \sigma \right| 達到最大值 \pi/2

不同 \tau坐標曲面是一組圍著焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為

y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 \tau 的圓柱面在 x>0 半空間;而負值 \tau 的圓柱面在 x<0 半空間。 \tau=0 平面則與 yz-平面同平面。當 \tau 值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。

逆變換[编辑]

Bipolar sigma isosurfaces.png
Bipolar tau isosurfaces.png

雙極圓柱坐標 (\sigma,\ \tau,\ z) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2}
d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}

\taud_{1}d_{2} 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

\angle F_1PF_2 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline{F_1 P}\overline{F_2 P} 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma 。用餘弦定理來計算:

\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}

z-坐標的公式不變:

z=z

標度因子[编辑]

雙極圓柱坐標 \sigma\tau 的標度因子相等;而 z 的標度因子是 1 :

h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}
h_{z}=1

所以,無窮小體積元素等於

dV = \frac{a^{2}}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}} d\sigma d\tau dz

拉普拉斯算子

\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2}} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}
\left( 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} 
\right) + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}

其它微分算子,例如 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用[编辑]

雙極圓柱坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體,請問其周圍的電場為什麼?應用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7. 
  • Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.