雙極圓柱坐標系
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雙極圓柱坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點
與
,其直角坐標
分別設定為
與
。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線,
與
,稱為焦線。
目录 |
[编辑] 基本定義
雙極圓柱坐標
通常定義為
,
,
;
其中,點
的
坐標等於
的弧度,
坐標等於
與
的比例的自然對數
。
(回想焦線
與
的坐標分別為
與
)。
[编辑] 坐標曲面
不同
的坐標曲面是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線
與
的圓柱面:
它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值
的圓柱面的圓心線都在
半空間;而負值
的圓柱面的圓心線則在
半空間。當絕對值
增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時,
達到最大值
。
不同
的坐標曲面是一組圍著焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為
。
它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值
的圓柱面在
半空間;而負值
的圓柱面在
半空間。
平面則與 yz-平面同平面。當
值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。
[编辑] 逆變換
雙極圓柱坐標
可以用直角坐標
來表達。點 P 與兩個焦線之間的距離是
,
。
是
與
的比例的自然對數:
。
是兩條從點 P 到兩個焦點的線段
與
的夾角。這夾角的弧度是
。用餘弦定理來計算:
。
z-坐標的公式不變:
[编辑] 標度因子
雙極圓柱坐標
與
的標度因子相等;而
的標度因子是 1 : :
。
。
所以,無窮小體積元素等於
。
。
其它微分算子,例如
與
,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。
[编辑] 應用
雙極圓柱坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體,請問其周圍的電場為什麼?應用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。
[编辑] 參閱
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|---|---|
| 正交坐標系 | 正交坐標系 |
| 二維坐標系 | 直角坐標系 · 極坐標系 · 拋物線坐標系 · 雙極坐標系 · 雙角坐標系 · 雙心坐標系 · 雙曲坐標系 · 橢圓坐標系 |
| 三維坐標系 | 直角坐標系 · 圓柱坐標系 · 球坐標系 · 三維拋物線坐標 · 拋物柱面坐標系 · 拋物面坐標系 · 扁球面坐標系 · 長球面坐標系 · 橢球坐標系 · 橢圓柱坐標系 · 圓環坐標系 · 雙球坐標系 · 雙極圓柱坐標系 · 圓錐坐標系 · Flat-Ring cyclide coordinates · Flat-Disk cyclide coordinates · Bi-cyclide coordinates · Cap-cyclide coordinates |
| 座標系統 | |
[编辑] 參考文獻
- Margenau H, Murphy GM(1956).The Mathematics of Physics and Chemistry.New York:D. van Nostrand,pp. 187–190.
- Korn GA, Korn TM(1961).Mathematical Handbook for Scientists and Engineers.New York:McGraw-Hill,p. 182.ASIN B0000CKZX7.
- Moon P, Spencer DE(1988).“Conical Coordinates (r, θ, λ)”,Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions,corrected 2nd ed., 3rd print ed.,New York:Springer-Verlag,unknown.ISBN 978-0387184302.

與
的比例的

