雙極圓柱坐標系

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雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 \sigma\,\!-等值曲線，藍色圓圈則是 \tau\,\!-等值曲線。

雙極圓柱坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 F_{1}\,\! 與 F_{2}\,\! ，其直角坐標 (x,\ y)\,\! 分別設定為 ( - a,\ 0)\,\! 與 (a,\ 0)\,\! 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，L_{1}\,\! 與 L_{2}\,\! ，稱為焦線。

目录

[编辑] 基本定義

雙極圓柱坐標 (\sigma,\ \tau,\ z)\,\! 通常定義為

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\! ，
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\! ，
z = z\,\! ；

其中，點 P\,\! 的 \sigma\,\! 坐標等於 \angle F_{1} P F_{2}\,\! 的弧度，\tau\,\! 坐標等於 d_1=F_1 P\,\! 與 d_2=F_2 P\,\! 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\!。

（回想焦線 F_1\,\! 與 F_2\,\! 的坐標分別為 x= - a\,\! 與 x=a\,\! ）。

[编辑] 坐標曲面

雙極坐標的幾何詮釋。 \overline{F_1 P}\,\! 與 \overline{F_2 P}\,\! 的夾角 \angle F_{1} P F_{2}\,\! 的弧度是 \sigma\,\! 。F_1 P\,\! 與 F_2 P\,\! 的比例的自然對數是 \tau\,\! 。\sigma\,\! 與 \tau\,\! 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

不同 \sigma\,\! 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 L_1\,\! 與 L_2\,\! 的圓柱面：

x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}\,\!

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 \sigma\,\! 的圓柱面的圓心線都在 y>0\,\! 半空間；而負值 \sigma\,\! 的圓柱面的圓心線則在 y<0\,\! 半空間。當絕對值 \left| \sigma \right|\,\! 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，\left| \sigma \right|\,\! 達到最大值 \pi/2\,\! 。

不同 \tau\,\! 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}\,\! 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 \tau\,\! 的圓柱面在 x>0\,\! 半空間；而負值 \tau\,\! 的圓柱面在 x<0\,\! 半空間。 \tau=0\,\! 平面則與 yz-平面同平面。當 \tau\,\! 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

[编辑] 逆變換

雙極圓柱坐標 (\sigma,\ \tau,\ z)\,\! 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z)\,\! 來表達。點 P 與兩個焦線之間的距離是

d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2}\,\! ，
d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}\,\! 。

\tau\,\! 是 d_{1}\,\! 與 d_{2}\,\! 的比例的自然對數：

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\! 。

\angle F_1PF_2\,\! 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline{F_1 P}\,\! 與 \overline{F_2 P}\,\! 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma\,\! 。用餘弦定理來計算：

\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}\,\! 。

z-坐標的公式不變：

z=z\,\!

[编辑] 標度因子

雙極圓柱坐標 \sigma\,\! 與 \tau\,\! 的標度因子相等；而 z\,\! 的標度因子是 1 ： ：

h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}\,\! 。
h_{z}=1\,\! 。

所以，無窮小體積元素等於

dV = \frac{a^{2}}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}} d\sigma d\tau dz \,\! 。

拉普拉斯算子是

\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2}} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right) + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}\,\! 。

其它微分算子，例如 \nabla \cdot \mathbf{F}\,\! 與 \nabla \times \mathbf{F}\,\! ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

[编辑] 應用

雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

[编辑] 參閱

查 • 論 • 編 • 歷
坐標系
正交坐標系 正交坐標系
二維坐標系 直角坐標系 · 極坐標系 · 拋物線坐標系 · 雙極坐標系 · 雙角坐標系 · 雙心坐標系 · 雙曲坐標系 · 橢圓坐標系
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座標系統


[编辑] 參考文獻

  • Margenau H, Murphy GM（1956）．The Mathematics of Physics and Chemistry．New York：D. van Nostrand，pp. 187–190． 
  • Korn GA, Korn TM（1961）．Mathematical Handbook for Scientists and Engineers．New York：McGraw-Hill，p. 182．ASIN B0000CKZX7． 
  • Moon P, Spencer DE（1988）．“Conical Coordinates (r, θ, λ)”，Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions，corrected 2nd ed., 3rd print ed.，New York：Springer-Verlag，unknown．ISBN 978-0387184302． 

[编辑] 外部連結

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