雙極圓柱坐標系

雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 $\sigma$-等值曲線，藍色圓圈則是 $\tau$-等值曲線。

雙極圓柱坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ ，其直角坐標 $(x,\ y)$ 分別設定為 $( - a,\ 0)$ 與 $(a,\ 0)$ 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線，$L_{1}$ 與 $L_{2}$ ，稱為焦線。

基本定義

雙極圓柱坐標 $(\sigma,\ \tau,\ z)$ 通常定義為

$x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}$ 、

$y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}$ 、

$z = z$ ；

其中，點 $P$ 的 $\sigma$ 坐標等於 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的弧度，$\tau$ 坐標等於 $d_1=F_1 P$ 與 $d_2=F_2 P$ 的比例的自然對數

$\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}$。

注意到焦線 $F_1$ 與 $F_2$ 的坐標分別為 $x= - a$ 與 $x=a$ 。

坐標曲面

雙極坐標的幾何詮釋。 $\overline{F_1 P}$ 與 $\overline{F_2 P}$ 的夾角 $\angle F_{1} P F_{2}$ 的弧度是 $\sigma$ 。$F_1 P$ 與 $F_2 P$ 的比例的自然對數是 $\tau$ 。$\sigma$ 與 $\tau$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

不同 $\sigma$ 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 $L_1$ 與 $L_2$ 的圓柱面：

$x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}$ 。

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 $\sigma$ 的圓柱面的圓心線都在 $y>0$ 半空間；而負值 $\sigma$ 的圓柱面的圓心線則在 $y<0$ 半空間。當絕對值 $\left| \sigma \right|$ 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，$\left| \sigma \right|$ 達到最大值 $\pi/2$ 。

不同 $\tau$ 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

$y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}$ 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 $\tau$ 的圓柱面在 $x>0$ 半空間；而負值 $\tau$ 的圓柱面在 $x<0$ 半空間。 $\tau=0$ 平面則與 yz-平面同平面。當 $\tau$ 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

逆變換

雙極圓柱坐標 $(\sigma,\ \tau,\ z)$ 可以用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

$d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2}$ 、

$d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}$ 。

$\tau$ 是 $d_{1}$ 與 $d_{2}$ 的比例的自然對數：

$\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}$ 。

$\angle F_1PF_2$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 $\overline{F_1 P}$ 與 $\overline{F_2 P}$ 的夾角。這夾角的弧度是 $\sigma$ 。用餘弦定理來計算：

$\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}$ 。

z-坐標的公式不變：

$z=z$ 。

標度因子

雙極圓柱坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 的標度因子相等；而 $z$ 的標度因子是 1 ：

$h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}$ 、

$h_{z}=1$ 。

所以，無窮小體積元素等於

$dV = \frac{a^{2}}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2}} d\sigma d\tau dz$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2}} \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{2} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right) + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}$ 。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 與 $\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用

雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參考文獻

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190. 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7. 
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.