雙極坐標系

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雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 \sigma\,\!-等值曲線，藍色圓圈則是 \tau\,\!-等值曲線。

二維雙極坐標系是一個正交坐標系。學術界上有三種常用的雙極坐標系[1]。除了在這裏討論的坐標系以外，另外兩種是雙心坐標系與雙角坐標系。

這裡所要討論的雙極坐標系建立於阿波羅尼奧斯圓。\sigma\,\! 的等值曲線是圓圈。 \tau\,\! 的等值曲線也是圓圈。兩組圓圈互相垂直相交。雙極坐標系有兩個焦點 F_{1}\,\! 與 F_{2}\,\! ，其直角坐標 (x,\ y)\,\! 通常分別設定為 ( - a,\ 0)\,\! 與 (a,\ 0)\,\! 。所以，這兩個焦點都處於直角坐標系的 x-軸。

雙極坐標系是好幾種三維正交坐標系的原始模。往 z-軸方向延伸，則可得到雙極圓柱坐標系。繞著 x-軸旋轉，即可得到雙球坐標系。繞著 y-軸旋轉，就可得到圓環坐標系。

目录

基本定義 [编辑]

雙極坐標的幾何詮釋。 \overline{F_1 P}\,\! 與 \overline{F_2 P}\,\! 的夾角 \angle F_{1} P F_{2}\,\! 的弧度是 \sigma\,\! 。F_1 P\,\! 與 F_2 P\,\! 的比例的自然對數是 \tau\,\! 。\sigma\,\! 與 \tau\,\! 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。
Bipolar sigma isosurfaces.png
Bipolar tau isosurfaces.png

在二維空間裏，一個點 P 的雙極坐標 (\sigma,\ \tau)\,\! 通常定義為

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\!，
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\!；

其中，點 P\,\! 的 \sigma\,\! 坐標等於 \angle F_{1} P F_{2}\,\! 的弧度，\tau\,\! 坐標等於 d_1=F_1 P\,\! 與 d_2=F_2 P\,\! 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\!。

（回想 F_1\,\! 與 F_2\,\! 的坐標分別為 ( - a,\ 0)\,\! 與 (a,\ 0)\,\! ）。

等值曲線 [编辑]

不同 \sigma\,\! 的等值曲線是一組不同圓心，而相交於兩個焦點 F_1\,\! 與 F_2\,\! 的圓圈：

x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}\,\!

它們的圓心都包含於 y-軸。正值 \sigma\,\! 的圓圈的圓心都在 x-軸以上；而負值 \sigma\,\! 的圓圈的圓心則在 x-軸以下。當絕對值 \left| \sigma \right|\,\! 增加時，圓半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，\left| \sigma \right|\,\! 達到最大值 \pi/2\,\! 。

不同 \tau\,\! 的等值曲線是一組圍著焦點，互不相交，不同半徑的圓圈。半徑為

y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}\,\! 。

它們的圓心都包含於 x-軸。正值 \tau\,\! 的圓圈在 x>0\,\! 半平面；而負值 \tau\,\! 的圓圈在 x<0\,\! 半平面。\tau=0\,\! 曲線則與 y-軸同軸。當 \tau\,\! 值增加時，圓圈的半徑會減少，圓心會靠近焦點。

逆變換 [编辑]

雙極坐標 (\sigma,\ \tau)\,\! 可以用直角坐標 (x,\ y)\,\! 來表達。點 P 與兩個焦點之間的距離是

d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2}\,\! ，
d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}\,\! 。

\tau\,\! 是 d_{1}\,\! 與 d_{2}\,\! 的比例的自然對數：

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\! 。

\angle F_1PF_2\,\! 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline{F_1 P}\,\! 與 \overline{F_2 P}\,\! 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma\,\! 。用餘弦定理來計算：

\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}\,\! ；

標度因子 [编辑]

雙極坐標 (\sigma,\ \tau)\,\! 的標度因子相等：

h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}\,\! 。

所以，無窮小面積元素等於

dA = \frac{a^2}{(\cosh\tau - \cos\sigma)^{2}} \ d\sigma d\tau\,\! 。

拉普拉斯算子是

\nabla^{2} \Phi =\left(\frac{\cosh \tau - \cos\sigma}{a}\right)^2 (\frac{\partial^2\Phi}{\partial \sigma^2} +\frac{\partial^2\Phi}{\partial \tau^2})\,\! 。

其它微分算子，例如 \nabla \cdot \mathbf{F}\,\! 與 \nabla \times \mathbf{F}\,\! ，都可以用雙極坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用 [编辑]

雙極坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極坐標，我們可以精緻地分析這例題。

參閱 [编辑]
二维正交坐标系
三维正交坐标系

參考文獻 [编辑]

  • H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50。
  • Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。
  • Korn GA and Korn TM, (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill。
  1. ^ MathWorld 的雙極坐標系
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