雙極坐標系

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是 \sigma\,\!-等值曲線,藍色圓圈則是 \tau\,\!-等值曲線。

二維雙極坐標系是一個正交坐標系。學術界上有三種常用的雙極坐標系[1]。除了在這裏討論的坐標系以外,另外兩種是雙心坐標系雙角坐標系

這裡所要討論的雙極坐標系建立於阿波羅尼奧斯圓\sigma\,\! 的等值曲線是圓圈。 \tau\,\! 的等值曲線也是圓圈。兩組圓圈互相垂直相交。雙極坐標系有兩個焦點 F_{1}\,\!F_{2}\,\! ,其直角坐標 (x,\ y)\,\! 通常分別設定為 ( - a,\ 0)\,\!(a,\ 0)\,\! 。所以,這兩個焦點都處於直角坐標系的 x-軸。

雙極坐標系是好幾種三維正交坐標系的原始模。往 z-軸方向延伸,則可得到雙極圓柱坐標系。繞著 x-軸旋轉,即可得到雙球坐標系。繞著 y-軸旋轉,就可得到圓環坐標系

基本定義[编辑]

雙極坐標的幾何詮釋。 \overline{F_1 P}\,\!\overline{F_2 P}\,\! 的夾角 \angle F_{1} P F_{2}\,\! 的弧度是 \sigma\,\!F_1 P\,\!F_2 P\,\! 的比例的自然對數\tau\,\!\sigma\,\!\tau\,\! 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。
Bipolar sigma isosurfaces.png
Bipolar tau isosurfaces.png

在二維空間裏,一個點 P 的雙極坐標 (\sigma,\ \tau)\,\! 通常定義為

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\!
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}\,\!

其中,點 P\,\!\sigma\,\! 坐標等於 \angle F_{1} P F_{2}\,\! 的弧度,\tau\,\! 坐標等於 d_1=F_1 P\,\!d_2=F_2 P\,\! 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\!

(回想 F_1\,\!F_2\,\! 的坐標分別為 ( - a,\ 0)\,\!(a,\ 0)\,\! )。

等值曲線[编辑]

不同 \sigma\,\! 的等值曲線是一組不同圓心,而相交於兩個焦點 F_1\,\!F_2\,\! 的圓圈:

x^{2} +( y - a \cot \sigma )^2 = \frac{a^2}{\sin^2 \sigma}\,\!

它們的圓心都包含於 y-軸。正值 \sigma\,\! 的圓圈的圓心都在 x-軸以上;而負值 \sigma\,\! 的圓圈的圓心則在 x-軸以下。當絕對值 \left| \sigma \right|\,\! 增加時,圓半徑會減小,圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時,\left| \sigma \right|\,\! 達到最大值 \pi/2\,\!

不同 \tau\,\! 的等值曲線是一組圍著焦點,互不相交,不同半徑的圓圈。半徑為

y^{2} +\left( x - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}\,\!

它們的圓心都包含於 x-軸。正值 \tau\,\! 的圓圈在 x>0\,\! 半平面;而負值 \tau\,\! 的圓圈在 x<0\,\! 半平面。\tau=0\,\! 曲線則與 y-軸同軸。當 \tau\,\! 值增加時,圓圈的半徑會減少,圓心會靠近焦點。

逆變換[编辑]

雙極坐標 (\sigma,\ \tau)\,\! 可以用直角坐標 (x,\ y)\,\! 來表達。點 P 與兩個焦點之間的距離是

d_{1}^{2} = (x + a)^{2} + y^{2}\,\!
d_{2}^{2} = (x - a)^{2} + y^{2}\,\!

\tau\,\!d_{1}\,\!d_{2}\,\! 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}\,\!

\angle F_1PF_2\,\! 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 \overline{F_1 P}\,\!\overline{F_2 P}\,\! 的夾角。這夾角的弧度是 \sigma\,\! 。用餘弦定理來計算:

\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}\,\!

標度因子[编辑]

雙極坐標 (\sigma,\ \tau)\,\! 的標度因子相等:

h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}\,\!

所以,無窮小面積元素等於

dA = \frac{a^2}{(\cosh\tau - \cos\sigma)^{2}} \ d\sigma d\tau\,\!

拉普拉斯算子

\nabla^{2} \Phi =\left(\frac{\cosh \tau - \cos\sigma}{a}\right)^2
(\frac{\partial^2\Phi}{\partial \sigma^2} +\frac{\partial^2\Phi}{\partial \tau^2})\,\!

其它微分算子,例如 \nabla \cdot \mathbf{F}\,\!\nabla \times \mathbf{F}\,\! ,都可以用雙極坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

應用[编辑]

雙極坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙極坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體,請問其周圍的電場為什麼?應用雙極坐標,我們可以精緻地分析這例題。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50。
  • Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。
  • Korn GA and Korn TM, (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill。
  1. ^ MathWorld 的雙極坐標系