雙複數

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雙複數乘法表
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k +1 i
k k j i −1

雙複數是擁有以下形式的超複數

t = w + x i + y j + z k, \quad w, x, y, z \in R

 i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = +1 .

線性表示法[编辑]

在雙複數 t = w + xi + yj + zk, \ 中,請注意由於ij=k,所以t = (w + xi) + (y + zi) j \ 。 這映射

t \mapsto \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}, \quad p = w + xi, \quad q = y + zi

是一個以2x2的複數矩陣組成的雙複數的線性表示方式。

例如,ik = i(ij) = (ii)j = −j的線性表示法是

\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

請注意這代數矩陣與其他代數矩陣的分別是:這代數矩陣是一個可交換的代數矩陣。