雙複數

雙複數乘法表

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	k	+1	i
k	k	−j	i	−1

雙複數是擁有以下形式的超複數：

$t = w + x i + y j + z k, \quad w, x, y, z \in R$

而 $i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = +1 .$

線性表示法

在雙複數$t = w + xi + yj + zk, \$中，請注意由於ij=k，所以$t = (w + xi) + (y + zi) j \$。 這映射

$t \mapsto \begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}, \quad p = w + xi, \quad q = y + zi$。

是一個以2x2的複數矩陣組成的雙複數的線性表示方式。

例如，ik = i(ij) = (ii)j = −j的線性表示法是

$\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .$

請注意這代數矩陣與其他代數矩陣的分別是：這代數矩陣是一個可交換的代數矩陣。