零空间

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

数学中,一个算子 A零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A, 核空间。用集合建造符号表示为

\hbox{Null}(A) = \{\mathbf{v} \in V : A\mathbf{v} = \mathbf{0} \}.

尽管术语核更加常用,术语零空间有时用在避免混淆于积分变换的情境中。应当避免把零空间混淆于零向量空间,它是只有零向量的空间。

如果算子是在向量空间上的线性算子,零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间

例子[编辑]

1. 考虑函数f

f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}
(x, y) \longmapsto x - y
它是一个线性映射,因为 f(x + \lambda z, y + \lambda w) = (x + \lambda z) - (y + \lambda w) = f(x, y) + \lambda  f (z, w)。它的零空间由所有第一个和第二个坐标一致的向量组成,就是说描述了一条直线  \left\{(x, x) : x \in \mathbb{R} \right\}

2. 在一个线性空间中固定一个向量 y 并定义线性映射 f 为向量 xy点积。它的零空间由所有正交于 y 的向量,即 y正交补组成。

性质[编辑]

如果 A矩阵,它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做 A零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵 A行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。

对应于零奇异值A右奇异向量形成了 A 的零空间的

A 的零空间可以用来找到和表达方程 Ax = b 的所有解(完全解)。如果 x1 是这个方程的一个解,叫做特定解,那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依 b 而变化,而零空间的向量不是。

要证明这一点,我们考虑每个方向。在一个方向上,如果 Ay = b,且 Av = 0,则明显的 A(y+v) = Ay+Av = b+0 = b。所以 y+v 也是 Ax=b 的解。在其他方向上,如果我们有对 Ax=b 的另一个解 z,则 A(zy) = AzAy = b−b = 0。所以向量 u = zyA 的零空间中而 z = y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解 y

如果一个线性映射 A单同态,则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零,由类似上面的方法可以得出Ay = b的解不止一个,也就是说线性映射 A 不是单射了。

如果映射是零映射,则零空间同于映射的定义域。

找到一个矩阵的零空间[编辑]

考虑矩阵

A=\begin{bmatrix}-2 & -4 & 4 \\ 2 & -8 & 0 \\ 8 & 4 & -12\end{bmatrix}. \!\,

要找到它的零空间,须找到所有向量 v 使得 Av=0。首先把 A 变换成简约行梯阵形式

E=\begin{bmatrix}1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}. \!\,

Av=0 当且仅当 Ev=0。使用符号 v=[x, y, z]^T,后者方程变为

\begin{bmatrix}1 & 0 & -4/3 \\ 0 & 1 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix};
\begin{bmatrix}x-4z/3 \\ y-z/3 \\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}x=4z/3 \\ y=z/3 \\ 0=0\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}x=4s/3 \\ y=s/3 \\ z=s\end{bmatrix}.

所以,A 的零空间是一维空间,

v=\begin{bmatrix}4s/3 \\ s/3 \\ s\end{bmatrix}.

外部链接[编辑]