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電磁場的動力學理論

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電磁場的動力學理論》(英语A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field)是一篇詹姆斯·馬克士威發於1864年的論文,這篇論文是他所寫的第三篇關於電磁學的論文[1]。在這篇論文裏,他首次系統性地陳列出馬克士威方程組。馬克士威又應用了先前在他的1861年論文《論物理力線》裏提出的位移電流的概念,來推導出電磁波方程式[2]。由於這導引將電學磁學光學聯結成一個統一理論。這創舉現在已被物理學術界公認為物理學史的重大里程碑。

馬克士威原本的方程式[编辑]

在這篇論文的標題為電磁場一般方程式的第三章裏,馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式,在那時期,稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中,這二十個方程式都是以分量形式表示,其中,有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示(對應於每一個直角坐標,有一個方程式),另外剩下的兩個是純量方程式。所以,以向量標記,馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年,從這八個方程式,奧利弗·黑維塞重新編排出四個方程式,並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏,只有一個方程式,高斯定律的方程式(G),完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式,乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流,是安培環路定理的延伸。

以向量標記,馬克士威方程組的原先版本的八個方程式,分別寫為

(A) 總電流定律
\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}
(B) 磁場方程式
\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}
(C) 安培環路定理
\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{tot}
(D) 勞侖茲力方程式
\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi
(E) 電彈性方程式
\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}
(F) 歐姆定律
\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}
(G) 高斯定律
\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho
(H) 連續方程式
\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}
標記符號:
\mathbf{H}磁場強度
\mathbf{J}傳導電流密度
\mathbf{J}_{tot} 是總電流密度(包括位移電流密度),
\mathbf{D}電位移
\rho自由電荷密度,
\mathbf{A}磁向量勢
\mathbf{E}電場
\phi電勢
\mu磁導率
\epsilon電容率
\sigma電導率

關於介質的性質,馬克士威並沒有試著處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質;他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。

值得注意的是,馬克士威將 \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度 \mathbf{v} 移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式(77),比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在,勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式,並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

光波是電磁波[编辑]

馬克士威,電磁學之父

在論文《電磁場的動力學理論》裏,馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正,將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併,因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是,這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說[3]

這些殊途一致的結果,似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性,光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。

——詹姆斯·馬克士威

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏,並沒有使用法拉第電磁感應定律,而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動,項目 \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} 可以被刪除。事實上,他的八個方程式裏,並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長,現代的教科書已不再採用這推導,改而選擇另一種比較簡易了解的推導,這推導主要是使用馬克士威-安培定律(安培環路定理的延伸)與法拉第電磁感應定律。

馬克士威的推導[编辑]

假設電磁波是一個平面波,以波速 V 向正z-軸的方向傳播於某介質,則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 w=z - Vt 。根據磁向量定義式(B),

\mathbf{B}= - \hat{x}\frac{\partial A_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial A_x}{\partial z}

其中,B\ \stackrel{def}{=}\ \mu\mathbf{H}磁感應強度的定義式。

注意到 B_z=0 , 還有,\mathbf{B} 垂直於平面波的傳播方向,這電磁波是個橫波

根據安培環路定理(C),

\mathbf{J}_{tot}= - \hat{x}\frac{\partial H_y}{\partial z}+ \hat{y}\frac{\partial H_x}{\partial z}
= - \frac{1}{\mu}\left(\hat{x}\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2}+\hat{y}\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2}\right)

假設介質是個絕緣體,傳導電流密度 \mathbf{J} 等於零,則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E),

\mathbf{J}_{tot}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

假設導體的速度等於零,即動生電動勢項目等於零,則根據合勢方程式(D),

\frac{\partial^2 A_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_x}{\partial t^2}=0
\frac{\partial^2 A_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 A_y}{\partial t^2}=0

再應用磁向量定義式(B),就可以得到磁場的波動方程式:

\frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0
\frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0

鏈式法則要求

\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}
\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}= - V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}

所以,

\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_x}{\mathrm{d} w^2}=0
\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2} - \mu\epsilon V^2\frac{\mathrm{d}^2 B_y}{\mathrm{d} w^2}=0

傳播的速度為

V=1/\sqrt{\mu\epsilon}

設定磁導率為磁常數 \mu_0 ,電容率為電常數 \epsilon_0 ,則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。

類似地,應用合勢方程式(D),可以得到電場的波動方程式:

\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0
\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} - \mu\epsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0
E_z= - \frac{\partial A_z}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial z}

注意到,E_z 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前,馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。

現代推導[编辑]

自由空間裏,黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0(1)
 \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}(2)
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0(3)
 \nabla \times \mathbf{B} =\mu_0 \varepsilon_0 \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t}(4)

其中,\mu_0磁常數\varepsilon_0電常數

分別取公式 (2) 、(4) 的旋度

 \nabla \times(\nabla \times \mathbf{E})= - \frac{\partial } {\partial t} (\nabla \times \mathbf{B})= - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E} }  {\partial t^2}
 \nabla \times(\nabla \times \mathbf{B})= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial } {\partial t}(\nabla \times \mathbf{E})= - \mu_o \varepsilon_o \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}

應用一則向量恆等式

\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{Z} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{Z} \right) - \nabla^2 \mathbf{Z}

其中, \mathbf{Z} 是任意向量函數。

將公式 (1) 、(3) 代入,即可得到波動方程式:

\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{E}\ =\ 0(5)
\left(\nabla^2 - \frac{ 1}{{c}^2 }\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \mathbf{B}\ =\ 0(6)

其中,c=c_0 = { 1 \over \sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0 } } = 2.99792458 \times 10^8 [公尺/秒]是電磁波傳播於自由空間的速度。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 馬克士威, 詹姆斯, A dynamical theory of the electromagnetic field (pdf), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, 155: 459–512 
  2. ^ 馬克士威, 詹姆斯, On physical lines of force (pdf), Philosophical Magazine, 1861 
  3. ^ 馬克士威, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, pp. 499, 1864 
  • Maxwell, James C.; Torrance, Thomas F., A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Eugene, OR: Wipf and Stock, 1996-03, ISBN 1-57910-015-5 
  • Niven, W. D., The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, New York: Dover, 1952