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電磁應力-能量張量

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物理學中,電磁應力-能量張量是指由電磁場貢獻於應力-能量張量(又稱能量-動量張量)的部份。在自由空間中,以國際單位制之單位可表示成:

T^{\alpha\beta} = \frac{1}{\mu_o}[ -F^{\alpha \gamma}F_{\gamma}{}^{\beta} - \frac{1}{4}g^{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F^{\gamma\delta}].

若以明顯的矩陣形式,可寫為:

T^{\alpha\beta} =\begin{bmatrix} \frac{1}{2}(\epsilon_o E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2) & S_x & S_y & S_z \\ 
S_x & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ 
S_y & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix},

其中

坡印廷向量 \vec{S}=\frac{1}{\mu_o}\vec{E}\times\vec{B},
電磁場張量 F_{\alpha\beta}\!,
度規張量 g_{\alpha\beta}\!,以及
馬克士威應力張量 \sigma_{ij} = \epsilon _o E_i E_j   + \frac{1}
{{\mu _0 }}B_i B_j - \frac{1}
{2}\left( {\epsilon _o E^2  + \frac{1}
{{\mu _0 }}B^2 } \right)\delta _{ij} .

注意到c^2=\frac{1}{\epsilon_o \mu_0},而c真空中光速

若以cgs制單位表示,我們可以很簡單地用\frac{1}{4\pi}取代\epsilon_o\,,以及用4\pi\,取代\mu_o\,:

T^{\alpha\beta} = \frac{1}{4\pi} [ -F^{\alpha \gamma}F_{\gamma}{}^{\beta} - \frac{1}{4}g^{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F^{\gamma\delta}].

若以明顯的矩陣形式,可寫為:

T^{\alpha\beta} =\begin{bmatrix} \frac{1}{8\pi}(E^2+B^2) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\
S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\
S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}

其中,坡印廷向量變成如下形式:

\vec{S}=\frac{c}{4\pi}\vec{E}\times\vec{H}.

介電材料中的電磁應力-能量張量則較不為人所了解,並且其為未解決的Abraham-Minkowski controversy的主題。 (however see Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007))

能量-動量張量的其中元素(或說分量)T^{\alpha\beta}\!代表了電磁場的四維動量,其第α個分量——P^{\alpha}\!通過一超平面(hyperplane)「xβ = 常數」之通量(flux)。其代表了電磁場這個物理客體所帶有的能量、動量及應力,對於重力場(時空曲率)會有怎樣的重力場源貢獻。這些課題出現在廣義相對論中。

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