電荷密度

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。

電磁學裏,電荷密度是一種度量,描述電荷分佈的密度。電荷密度又可以分類為線電荷密度面電荷密度體電荷密度

假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子,則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度,單位為庫侖公尺 (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面,則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度,單位為庫侖/公尺2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部,則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度,單位為庫侖/公尺3

由於在大自然裏,有兩種電荷,正電荷負電荷,所以,電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意,不要將電荷密度與電荷載子密度 (charge carrier density) 搞混了。

電荷密度與電荷載子的體積有關。例如,由於陽離子的半徑比較小,它的體電荷密度大於陽離子的體電荷密度。

古典電荷密度[编辑]

假設,一個體積為 V載電體,其電荷密度 \rho_0 是均勻的,跟位置無關,那麼,總電荷量 Q

Q=\rho_0 V

假設,在某一區域內有 N 個離散的點電荷,像電子。那麼,電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為

\rho(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^N\ q_i\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i)

其中, \mathbf{r} 是檢驗位置,q_i 是位置為 \mathbf{r}_i 的第 i 個點電荷的電量

量子電荷密度[编辑]

氫原子的電子機率密度繪圖。橫排顯示不同的角量子數 (l) ,豎排顯示不同的能級 (n) 。這也是氫原子的負電荷密度圖。氫原子的質子的中心有一個正電性的質子

量子力學裏,類氫原子的中心有一個正電性的原子核,環繞著原子核四週的一個電子的軌域,其電荷密度可以用波函數 \psi(\mathbf{r}) 表達為[1]

\rho(\mathbf{r}) = q\cdot|\psi(\mathbf{r})|^2

其中,q 是電子的電荷量。

注意到 |\psi(\mathbf{r})|^2 是找到電子的機率。經過歸一化,在全部空間找到電子的機率是

\int_{all\ space} |\psi(\mathbf{r})|^2 \mathrm{d}^3{r}=1

例如,氫原子的波函數 \psi_{nlm}(\mathbf{r})

\psi_{nlm}(\mathbf{r})=R_{nl}(r)Y_l^m(\theta,\,\phi)

其中,R_{nl} 是徑向函數,Y_l^m(\theta,\,\phi)球諧函數n主量子數l角量子數m磁量子數

相對論性電荷密度[编辑]

相對論的角度來論述,導線的長度與觀察者的移動速度有關,所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁Anthony French)在他的著作中表明[2],移動中的電荷密度會產生磁場力,會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖,法蘭碁闡明,一條中性的載流導線,對於處於移動參考系的觀察者而言,為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標,研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學relativistic electromagnetism)。

電荷守恆的連續方程式[编辑]

電荷密度與電流密度之間的關係式為:

\frac{\partial \rho(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r},\,t) =0

其中,\mathbf{r} 是位置,t 是時間,\mathbf{J} 是電流密度。

電磁理論裏,從馬克士威方程組,可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律[3]

\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

其中,\mathbf{B} 是磁場,\mathbf{E} 是電場,\mu_0磁常數\epsilon_0電常數

散度於方程式的兩邊:

\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})

由於旋度的散度等於零,再根據高斯定律,可以得到想要的關係式

0=\nabla\cdot\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E})=\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}

換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積 \mathbb{V} 的淨電流為

I=-\oint_\mathbb{S} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}^2\mathbf{r}

其中,I 是電流,\mathbb{S} 是包圍體積 \mathbb{V} 的閉曲面,\mathrm{d}\mathbf{r}^2 是微小面向量元素,垂直於 \mathbb{S} 從體積內朝外指出。

應用散度定理,將這方程式寫為

I=-\int_\mathbb{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\  \mathrm{d}^3r

總電荷量 Q 與體積 \mathbb{V} 內的電荷密度 \rho 的關係為

Q=\int_\mathbb{V} \rho\  \mathrm{d}^3r

電荷守恆要求,流入體積 \mathbb{V} 的淨電流,等於體積 \mathbb{V} 內總電荷量 Q 的變率:

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d} t}=I=\int_\mathbb{V} \frac{\partial \rho}{\partial t}\  \mathrm{d}^3r

所以,

\int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\ \mathrm{d}^3r=0

對於任意體積 \mathbb{V} ,上述方程式都成立。所以,可以將被積式提取出來:[4]

\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J} =0

電勢和電場[编辑]

在一個體積區域 \mathbb{V}' 內,源位置 \mathbf{r}' 的電荷密度為 \rho(\mathbf{r}') 的電荷分佈,所產生在場位置 \mathbf{r}\!電勢[3]

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3{r}'

其中,\mathrm{d}^3{r}' 是微小體積元素。

電場 \mathbf{E} 是電勢的負梯度

\mathbf{E}(\mathbf{r})= - \boldsymbol{\nabla} \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'

應用向量關係式

\boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}=4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

取散度於電場,

\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})= - \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \rho(\mathbf{r}')4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \mathrm{d}^3{r}'

可以得到高斯定律的微分形式

\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}

帕松方程式

\nabla^2  \phi(\mathbf{r}) = - \frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Cao, Tian Yu, Conceptual developments of 20th century field theories. reprint, illustrated, Cambridge University Press. 1998:  pp. 146-147, ISBN 9780521634205 
  2. ^ A. French (1968) Special Relativity, chapter 8 Relativity and electricity, pp 229–65, W. W. Norton.
  3. ^ 3.0 3.1 Jackson, John David, Classical Electrodynamic. 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.. 1999:  pp. 29-31, 237-239, ISBN 978-0-471-30932-1 
  4. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall. 1998:  pp. 213, ISBN 0-13-805326-X