霍普夫不变量

在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（Hopf invariant）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。

历史

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）构造了霍普夫映射 $\eta\colon S^3 \to S^2$，并通过利用圆周 $\eta^{-1}(x),\eta^{-1}(y) \subset S^3$ 对任意 $x \neq y \in S^2$ 的环绕数（=1），证明了 η 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 π₃(S²) 是由 η 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（n 奇）有理同伦群 $\pi_i(S^n) \otimes \mathbb{Q}$ 是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（n 偶），在 2n − 1 次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：

定义

设 $\phi \colon S^{2n-1} \to S^n$ 是一个连续映射（假设 n > 1）。则我们可以构造胞腔复形

$C_\phi = S^n \cup_\phi D^{2n},$

这里 D²ⁿ 是 2n-维圆盘通过 ϕ 贴上一个 Sⁿ。 胞腔链群 $C^*_\mathrm{cell}(C_\phi)$ 在度数 n 只是由 n-胞腔自由生成，故它们在度数 0、n 与 2n是 $\mathbb{Z}$，其余都是零。胞腔（上）同调是该链复形的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 n > 1），上同调是

$H^i_\mathrm{cell}(C_\phi) = \begin{cases} \mathbb{Z} & i=0,n,2n, \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}$

记这些上同调群的生成元为

$H^n(C_\phi) = \langle\alpha\rangle$ 与 $H^{2n}(C_\phi) = \langle\beta\rangle.$

因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了 $\alpha \smile \alpha$ 一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是

$H^*(C_\phi) = \mathbb{Z}[\alpha,\beta]/\langle \beta\smile\beta = \alpha\smile\beta = 0, \alpha\smile\alpha=h(\phi)\beta\rangle.$

整数 h(ϕ) 是映射 ϕ 的霍普夫不变量。

性质

定理：$h\colon\pi_{2n-1}(S^n)\to\mathbb{Z}$ 是一个同态。进一步，如果 n 是偶数，则 h 映到 $2\mathbb{Z}$。

对霍普夫映射霍普夫不变量是 1（这里 n = 1,2,4,8，分别对应于实可除代数 $\mathbb{A}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}$，而二重覆叠 $S(\mathbb{A}^2)\to\mathbb{PA}^1$ 将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由弗兰克·亚当斯（Frank Adams）证明的一个定理，后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。

推广到稳定映射

可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备：

设 V 表示一个向量空间而 $V^\infty$ 是其单点紧化，即对某个 k 有 $V \cong \mathbb{R}^k$ 而 $V^\infty \cong S^k$。如果 (X,x₀) 是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去无穷远点为 $V^\infty$ 的基点，则我们可以构造楔积 $V^\infty \wedge X$。

现在令 $F \colon V^\infty \wedge X \to V^\infty \wedge Y$ 是一个稳定映射，即在约化垂纬函子下稳定。F 的（稳定）几何霍普夫不变量是

$h(F) \in \{X, Y \wedge Y\}_{\mathbb{Z}_2}$，

是从 X 到 $Y \wedge Y$ 映射的稳定 $\mathbb{Z}_2$-等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在 V 上（或 k，如果你愿意）的正向极限；而 $\mathbb{Z}_2$-作用是 X 的平凡作用与交换 $Y \wedge Y$ 中两个因子。如果我们令 $\Delta_X \colon X \to X \wedge X$ 表示典范对焦映射而 I 是恒等，则霍普夫不变量由下式定义：

$h(F) := (F \wedge F) (I \wedge \Delta_X) - (I \wedge \Delta_Y) (I \wedge F).$

这个映射原本是从 $V^\infty \wedge V^\infty \wedge X$ 到 $V^\infty \wedge V^\infty \wedge Y \wedge Y$ 的映射，但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦 $\mathbb{Z}_2$-等变群的典型元素。

也有一个非稳定版本的霍普夫不变量 h_V(F)，为此我们必须考虑向量空间 V。

参考文献

• Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math.. 1960, 72: 20–104 
• Adams, J.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics. 1966, 17 (1): 31–38 

• Crabb, M.; Ranicki, A., The geometric Hopf invariant. 2006 
• Hopf, Heinz, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Mathematische Annalen. 1931, 104: 637–665, ISSN 0025-5831 
• Shokurov, A.V., Hopf invariant//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104