霍普夫代數

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數學中,霍普夫代數是一類雙代數,亦即具有相容的結合代數餘代數結構的向量空間,配上一個對極映射,後者推廣了上的逆元運算 g \mapsto g^{-1}。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名,此類結構廣見於代數拓撲群概形論、量子群等數學領域。

定義[编辑]

所謂霍普夫代數,是指一個 K 上的雙代數 (H, \nabla, \Delta, \eta, \epsilon),配上一個線性映射 S: H \to H(稱為對極映射),使得下述圖表交換:

antipode commutative diagram

利用 Sweedler 記號,此定義亦可表為

\forall c \in C, \quad S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon(c)1

對極映射可理解為 \mathrm{id}: H \to H卷積之逆,故其若存在必唯一。當 S^2 = \mathrm{id},則稱 H對合的;交換或餘交換霍普夫代數必對合。

根據定義,有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。

例子[编辑]

群代數. 設 G 為群,可賦予群代數 K[G] 下述霍普夫代數結構:

  • \Delta: K[G] \to K[G] \otimes K[G], \quad \forall g \in G, \Delta(g) = g \otimes g
  • \epsilon: K[G] \to K, \quad \forall g \in G, \epsilon(g)=1
  • S: K[G] \to K[G], \quad \forall g \in G, S(g) = g^{-1}

有限群上的函數. 設 G 為有限群,置 K^G 為所有 G \to K 的函數,並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構 K^G \otimes K^G = K^{G \times G}。定義:

  • \Delta: K^G \to K^{G \times G}, \quad \Delta(f)(x,y) = f(xy)
  • \epsilon: K^G \to G, \quad \epsilon(f)=f(e)
  • S: K^G \to K^G, \quad S(f)(x) = f(x^{-1})

仿射代數概形的座標環:處理方式同上。

泛包絡代數. 假設 \mathfrak{g} 是域 K 上的李代數,置 U := U(\mathfrak{g}) 為其泛包絡代數,定義:

  • \Delta: U \to U \otimes U, \quad \forall g \in \mathfrak{g}, \Delta(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x
  • S: U \to U, \quad \forall x \in \mathfrak{g}, S(x)=-x

後兩條規則與交換子相容,因此可唯一地延拓至整個 U 上。

李群的上同調[编辑]

李群上同調代數構成一個霍普夫代數,其代數結構由上同調的上積給出,餘代數結構則來自群乘法 G \times G \to G,由此導出

H^\bullet(G) \to H^\bullet(G \times G) = H^\bullet(G) \otimes H^\bullet(G)

對極映射來自 G \to G: g \mapsto g^{-1}。這是霍普夫代數的歷史起源,事實上,霍普夫藉著研究這種結構,得以證明李群上同調的結構定理:

定理(霍普夫,1941年)[1].

AK 上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數,則 A(視為 K-代數)同構於由奇數次元素生成的自由外代數

量子群與非交換幾何[编辑]

上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面,泛包絡代數的某些「變形」或「量子化」可給出非交換亦非餘交換的例子;這類霍普夫代數常被稱為量子群,儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在非交換幾何中相當重要:一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃,而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類「量子化」了的代數群(實則非群)。

文獻[编辑]

註記[编辑]

  1. ^ H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). MR4784