霍普夫代數

在數學中，霍普夫代數是一類雙代數，亦即具有相容的結合代數與餘代數結構的向量空間，配上一個對極映射，後者推廣了群上的逆元運算 $g \mapsto g^{-1}$。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名，此類結構廣見於代數拓撲、群概形、群論、量子群等數學領域。

定義

所謂霍普夫代數，是指一個域 $K$ 上的雙代數 $(H, \nabla, \Delta, \eta, \epsilon)$，配上一個線性映射 $S: H \to H$（稱為對極映射），使得下述圖表交換：

利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為

$\forall c \in C, \quad S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon(c)1$

對極映射可理解為 $\mathrm{id}: H \to H$ 對卷積之逆，故其若存在必唯一。當 $S^2 = \mathrm{id}$，則稱 $H$ 為對合的；交換或餘交換霍普夫代數必對合。

根據定義，有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。

例子

群代數. 設 $G$ 為群，可賦予群代數 $K[G]$ 下述霍普夫代數結構：

• $\Delta: K[G] \to K[G] \otimes K[G], \quad \forall g \in G, \Delta(g) = g \otimes g$
• $\epsilon: K[G] \to K, \quad \forall g \in G, \epsilon(g)=1$
• $S: K[G] \to K[G], \quad \forall g \in G, S(g) = g^{-1}$

有限群上的函數. 設 $G$ 為有限群，置 $K^G$ 為所有 $G \to K$ 的函數，並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構 $K^G \otimes K^G = K^{G \times G}$。定義：

• $\Delta: K^G \to K^{G \times G}, \quad \Delta(f)(x,y) = f(xy)$
• $\epsilon: K^G \to G, \quad \epsilon(f)=f(e)$
• $S: K^G \to K^G, \quad S(f)(x) = f(x^{-1})$

仿射代數概形的座標環：處理方式同上。

泛包絡代數. 假設 $\mathfrak{g}$ 是域 $K$ 上的李代數，置 $U := U(\mathfrak{g})$ 為其泛包絡代數，定義：

• $\Delta: U \to U \otimes U, \quad \forall g \in \mathfrak{g}, \Delta(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x$
• $S: U \to U, \quad \forall x \in \mathfrak{g}, S(x)=-x$

後兩條規則與交換子相容，因此可唯一地延拓至整個 $U$ 上。

李群的上同調

李群的上同調代數構成一個霍普夫代數，其代數結構由上同調的上積給出，餘代數結構則來自群乘法 $G \times G \to G$，由此導出

$H^\bullet(G) \to H^\bullet(G \times G) = H^\bullet(G) \otimes H^\bullet(G)$

對極映射來自 $G \to G: g \mapsto g^{-1}$。這是霍普夫代數的歷史起源，事實上，霍普夫藉著研究這種結構，得以證明李群上同調的結構定理：

定理（霍普夫，1941年）.

設 $A$ 為 $K$ 上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數，則 $A$（視為 $K$-代數）同構於由奇數次元素生成的自由外代數。

量子群與非交換幾何

上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面，泛包絡代數的某些「變形」或「量子化」可給出非交換亦非餘交換的例子；這類霍普夫代數常被稱為量子群，儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在非交換幾何中相當重要：一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃，而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類「量子化」了的代數群（實則非群）。

文獻

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
• Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
• Ross Moore, Sam Williams and Ross Talent: Quantum Groups: an entrée to modern algebra
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages