霍普夫-里诺定理

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数学中,霍普夫—里诺(Hopf–Rinow)定理是关于黎曼流形测地完备性的一套等价命题,以海因茨·霍普夫和他的学生维利·里诺命名。定理如下:

M是黎曼流形,则下列命题等价:

  1. M有界子集是的。
  2. M完备度量空间
  3. M是测地完备:对M中任意点p指数映射\exp_p可定义在整个切空间T_pM

而且,以上任一条均可导出对于M中任何两点pq,存在连起两点的测地线使长度最短(测地线一般是极值,不一定是极小值)。

推广[编辑]

霍普夫—里诺定理推广至长度度量空间如下:

若一长度度量空间(M,d)是完备和局部紧,那么M中任意两点可以用长度最短的测地线连起,M的任意有界闭子集是紧的。

参考书目[编辑]

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-4267-2 See section 1.4.