非互補歐拉商數

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非互補歐拉商數noncototient)是指一個正整數n,不存在任一個整數m使下式成立:


 m - \varphi(m) = n,

其中\varphi(m)表示歐拉函數,是小於m的正整數中和m互質整數的個數,m-\varphi(m)稱為m的互補歐拉商數,因此非互補歐拉商數就是指不在互補歐拉商數值域內的整數。

頭幾個非互補歐拉商數是:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, 518, 520 (OEIS中的数列A005278)。

目前已知的非互補歐拉商數均為偶數,因此猜想所有的非互補歐拉商數均為偶數,猜想中有用到有經過修改的哥德巴赫猜想:若偶數n可以表示為二個相異質數pq的和,則


 pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1. \,

依照哥德巴赫猜想,所有大於6的偶數都可以表示為二個相異質數pq的和,此偶數減1所得的奇數就是pq的互補歐拉商數,因此很可能所有大於5的奇數都是互補歐拉商數,而未考慮到的奇數有1,3,5,而1=2-\phi(2), 3 = 9 - \phi(9), 5 = 25 - \phi(25),這些數也都是互補歐拉商數,因此很可能所有的非互補歐拉商數均為偶數。

Erdős和Sierpinski曾猜想存在有無限多個非互補歐拉商數,後來Browkin和Schinzel在1995年證實此一猜想,他們證明無窮數列 2^k \cdot 509203的每一項都是非互補歐拉商數,Flammenkamp和Luca在2000年提出了其他形式大致接近的範例。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  • Browkin, J.; Schinzel, A. On integers not of the form n-φ(n). Colloq. Math. 1995年, 68 (1): 55–58. Zbl 0820.11003. 
  • Flammenkamp, A.; Luca, F. Infinite families of noncototients. Colloq. Math. 2000年, 86 (1): 37–41. Zbl 0965.11003. 
  • Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004年: 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 

外部連結[编辑]