非线性特征值问题

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非线性特征值问题特征值, 非线性依赖于特征值的方程的特征值问题的推广. 具体来说, 非线性特征值问题指的是具以下形式的方程:

A(\lambda) \mathbf{x} = 0 , \,

其中 x向量(非线性"特征向量"), A\lambda (非线性"特征根")的函数矩阵.(更一般的, A(\lambda) 可以是一个线性映射, 但最常用的是有限维矩阵, 通常为方阵.) 通常要求 A\lambda (在某个定义域内)的全纯函数.

例如, 特征值问题 B\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}, 其中 B 为方阵, 对应于 A(\lambda) = B - \lambda I 的特征值问题, 其中 I单位矩阵.

常见的情况是多项式特征值问题, 其中 A多项式矩阵. 特别的, 当多项式的次数为二时被称作二次特征值问题, 此时 A 具有以下形式:

A(\lambda) \mathbf{x} = ( A_2 \lambda^2 + A_1 \lambda + A_0) \mathbf{x} =  0 , \,

其中 A0,1,2 为常数矩阵. 该问题可通过定义新的向量 \mathbf{y} = \lambda \mathbf{x} 转化为正常的特征值问题, 即

\begin{pmatrix} -A_0 & 0 \\ 0 & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{pmatrix} =  \lambda
\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ I & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \end{pmatrix}
,

其中 I 为单位矩阵. 更一般的, 如果 Ad 次多项式矩阵,那么多项式特征值问题可以转化为 d倍大小的(广义)线性特征值问题.

由于将非线性特征值问题只能在 A 为多项式的情况下转化为正常的特征值问题, 有许多其他的解决非线性特征问题的方法, 这些方法基于雅可比戴维森算法牛顿法(反幂法).

参考资料[编辑]

  • Françoise Tisseur and Karl Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem," SIAM Review '43' (2), 235-286 (2001).
  • Gene H. Golub and Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century," Journal of Computational and Applied Mathematics '123', 35-65 (2000).
  • Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems," SIAM J. Matrix. Anal. Appl. '20' (3), 575-595 (1999).
  • Axel Ruhe, "Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem," SIAM Journal on Numerical Analysis '10' (4), 674-689 (1973).