維費里希素數

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素数p^2 | 2^{p-1}-1,則稱為維費里希素数(Wieferich prime)。它最先在1909年阿圖爾·維費里希(Arthur Wieferich)有關費馬大定理的作品描述。

1909年,維費里希證明:x, y, z整數同時p質數使得x^p+y^p+z^p=0,並且p \nmid xyz,那麼p就是維費里希素数。

1910年Mirimanoff擴展這個定理,證明了若p符合上面的條件,p|3^{p-1}

梅森數M_q=2^q-1質因數p是維費里希素数若且唯若p^2|2^q-1,顯然,梅森質數不可能是維費里希素数。

尋找[编辑]

現時已知的維費里希素数只有1093和3511(OEIS:A001220),由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自發現。若有更大的存在,它必須大於1.25 \times10^{15} [1]。雖然1988年J. H. Silverman證明若abc猜想成立,對於任何正整數a>1,存在無限個質數p使得p^2 \nmid a^{p-1}-1;但「維費里希素数的數量有限」這個猜想仍未證實。