韦伯分布

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韦伯分布
概率密度函数
概率密度函數
累积分布函数
累積分佈函數
參數 \lambda>0\,尺度参数实数
k>0\,形状参数(实数)
支撑集 x \in [0; +\infty)\,
概率密度函數 f(x)=\begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}
累積分佈函數 1- e^{-(x/\lambda)^k}
期望值 \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
中位數 \lambda(\ln(2))^{1/k}\,
眾數 \lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\, if k>1
方差 \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
偏度 \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
峰度 见内文
信息熵 \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1
動差生成函數 \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right), \ k\geq1
特性函数 \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)

韦伯分布(Weibull distribution),又称韦氏分布威布尔分布,是可靠性分析寿命检验的理论基础。

历史(History)[编辑]

1. 1927年,Fréchet (1927)首先给出这一分布的定义。

2. 1933年,RosinRammler在研究碎末的分布时,第一次应用了韦伯分布(Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.)。

3. 1951年,瑞典工程师、数学家Waloddi Weibull(1887-1979)详细解释了这一分布,于是,该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution。

定义[编辑]

概率论统计学角度看,Weibull Distribution是连续性的概率分布,其概率密度为:

f(x;\lambda,k) =  \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}

其中,x是随机变量,λ>0是比例参数(scale parameter),k>0是形状参数(shape parameter)。显然,它的累积分布函数是扩展的指数分布函数,而且,Weibull distribution与很多分布都有关系。如,当k=1,它是指数分布;k=2时,是Rayleigh distribution(瑞利分布)。

性质(Properties)[编辑]

均值(mean)[编辑]

E=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\, 其中,Г是伽马(gamma)函数。

方差(variance)[编辑]

 Var=\lambda ^2 \left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right],

矩函数(moment generating function)[编辑]

偏度(skewness)[编辑]

skewness=\frac{2 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^3-3 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^{3/2}}

峰度(kurtosis)[编辑]

kurtosis=\frac{-3 \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^4+6 \Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2-4 \Gamma \left(1+\frac{3}{k}\right) \Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)+\Gamma \left(1+\frac{4}{k}\right)}{\left[\Gamma \left(1+\frac{2}{k}\right)-\Gamma \left(1+\frac{1}{k}\right)^2\right]^2}

应用[编辑]

生存分析[编辑]

工业制造[编辑]

研究生产过程和运输时间关系

极值理论[编辑]

预测天气[编辑]

可靠性和失效分析[编辑]

雷达系统[编辑]

对接受到的杂波信号的依分布建模

拟合度[编辑]

无线通信技术中,相对指数衰减频道模型,Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度

量化寿险模型的重复索赔[编辑]

预测技术变革[编辑]

风速[编辑]

由于曲线形状与现实状况很匹配,被用来描述风速的分布