韦尔莱积分法

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韦尔莱算法是一种用于求解牛顿运动方程的数值方法,被广泛应用于分子动力学模拟以及视频游戏中。韦尔莱算法的优点在于:数值稳定性比简单的欧拉方法高很多,并保持了物理系统中的时间可逆性与相空间体积元体积守恒的性质。

Carl Størmer首次应用韦尔莱算法求解磁场中运动粒子的轨迹,因此韦尔莱算法又被称为Størmer算法。1967年法国物理学家Loup Verlet将其应用于分子动力学计算,从此韦尔莱算法流行起来。

基本韦尔莱算法[编辑]

牛顿运动方程为


a(t)=\frac{f(t)}{m}

代入到粒子的坐标关于时间步的Taylor展式中


r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+\frac{a(t)}{2}\Delta t^{2}+\frac{1}{3!}\frac{d^3r}{dt^3}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})


r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+\frac{f(t)}{2m}\Delta t^{2}+\frac{1}{3!}\frac{d^3r}{dt^3}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})

同理


r(t-\Delta t)=r(t)-v(t)\Delta t+\frac{f(t)}{2m}\Delta t^{2}-\frac{1}{3!}\frac{d^3r}{dt^3}\Delta t^{3}+O(\Delta t^{4})
:

两式相加,得


r(t+\Delta t)+r(t-\Delta t)=2r(t)+\frac{f(t)}{m}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})


r(t+\Delta t)\simeq2r(t)-r(t-\Delta t)+\frac{f(t)}{m}\Delta t^{2}

新位置的计算误差为四阶,\Delta t 为时间步。因为韦尔莱算法中不涉及速度,如果希望得到速度,须从轨线中推导速度表达式:


v(t)=\frac{r(t+\Delta t)-r(t-\Delta t)}{2\Delta t}+O(\Delta t^{2})

速度表示的韦尔莱算法[编辑]

一般地,速度表示下的韦尔莱算法更为常用,它可以给出同一时间变量下的速度和位置。它实际上与基本的韦尔莱算法等价,精度相同。

首先对位置进行 Taylor 展开


r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+\frac{f(t)}{2m}\Delta t^{2}

r(t+2\Delta t)=r(t+\Delta t)+v(t+\Delta t)\Delta t+\frac{f(t+\Delta t)}{2m}\Delta t^{2}

对两式相减可得


r(t+2\Delta t)+r(t)=2r(t+\Delta t)+\left[v(t+\Delta t)-v(t)\right]\Delta t+\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{2m}\Delta t^{2}

将最初的 Verlet 公式中的 t 换为 t+\Delta t


r(t+2\Delta t)\simeq2r(t+\Delta t)-r(t)+\frac{f(t+\Delta t)}{m}\Delta t^{2}

代入前式,可得


v(t+\Delta t)=v(t)+\frac{f(t+\Delta t)+f(t)}{2m}\Delta t

此式即为速度表示的韦尔莱算法。实际常用的计算步骤为,

1.首先通过 Taylor 展开 r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+\frac{f(t)}{2m}\Delta t^{2} 计算得到位置 r(t+\Delta t)

2.由 r(t+\Delta t) 和系统的相互作用势条件(如果相互作用仅依赖位置 r)可以求的力场 f(t+\Delta t)

3.由速度表示的韦尔莱公式求出新的速度 v(t+\Delta t)

参考文献[编辑]

  • Daan Frenkel. 第四章. "Understanding Molecular Simulation - From Algorithms to Applications" Academic Press. 2002年.