韦达定理

韦达定理給出多項式方程的根与系数的关系，所以又简称根系关系。定理陳述如下：

设$F(x)=\sum_{m=1}^{n}a_mx^m + a_0 = 0$

是一个$n\ge 1$次方程，则有

$\begin{cases} \sum_{k=1}^{n}x_k = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ \sum_{m=1}^{n-1}\prod_{k=m+1}^{n}x_mx_k = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\\Pi_{k=1}^{n}x_k = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

在一元二次方程的特例中，两個根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两個根的乘积等于方程的常数项除以二次项系数。

设$x_1\,$，$x_2\,$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\,$的两根，那么

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$

韦达定理的逆定理同样成立。仍然以一元二次方程為例：給定一個一元二次方程。如果有两个数，它們的和等于該方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，它們的积又等于該方程的常数项除以二次项系数，那么它們就是該方程的兩根。

设关于$x\,$的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0\,$，且

$\alpha + \beta =-\frac{b}{a}$，$\alpha \beta =\frac{c}{a}$，

$\alpha\,$、$\beta\,$必定是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\,$的两个根。

定理特例的证明

设$x_1\,$，$x_2\,$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\,$ (a≠0)的两个解，且不妨令$x_1 \ge x_2$。

证明一:根据求根公式，有

$x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

所以

$x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} =-\frac{b}{a}$，

$x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac{c}{a}$

证明二:方程两边同时除以a,有

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$.........(1)

∵$(x-x_1)(x-x_2) = 0$,

展开得$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = 0$.........(2)

∴对照式子(1)与(2)，得 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$， $x_1x_2=\frac{c}{a}$

定理的证明

设$x_1\,,x_2\,,\cdots \,,x_n$是一元n次方程$\sum_{m=1}^{n}a_mx^m + a_0 = 0,(n\ge 1, a_n\ne0)$的n个解。

則有 $\sum_{m=1}^{n}a_mx^m + a_0 = a_n \Pi_{m=1}^{n}(x-x_m)$

由乘法原理:

$\begin{cases} a_{n-1}=a_n\sum_{k=1}^{n}x_k \\ a_{n-2}=a_n\sum_{m=1}^{n-1}(\Pi_{k=m}^{m+1}(-x_k)) \\ a_{n-3}=a_n\sum_{m=1}^{n-2}(\Pi_{k=m}^{m+2}(-x_k)) \\ \vdots \\ a_0=a_n\Pi_{k=1}^{n}(-x_k). \end{cases}$

移項化簡后得：

$\begin{cases} \sum_{k=1}^{n}x_k = (-1)^1\,\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ \sum_{m=1}^{n-1}(\Pi_{k=m}^{m+1}(-x_k)) = (-1)^2\,\frac{a_{n-2}}{a_n} \\ \sum_{m=1}^{n-2}(\Pi_{k=m}^{m+2}(-x_k)) = (-1)^3\,\frac{a_{n-3}}{a_n} \\ \vdots \\ \Pi_{k=1}^{n}(-x_k) = (-1)^n\,\frac{a_0}{a_n} . \end{cases}$

参看

• 法兰西斯·韦达