韦达定理

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韦达定理給出多項式方程的根与系数的关系,所以又简称根系关系。定理陳述如下:

F(x)=\sum_{m=1}^{n}a_mx^m + a_0 = 0

是一个n\ge 1次方程,则有

\begin{cases} \sum_{k=1}^{n}x_k = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\ 
 \sum_{m=1}^{n-1}x_m\sum_{k=m+1}^{n}x_k  = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
\vdots \\\Pi_{k=1}^{n}x_k  = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}. \end{cases}

一元二次方程的特例中,两個根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数;两個根的乘积等于方程的常数项除以二次项系数。

x_1\,x_2\,是一元二次方程ax^2+bx+c=0\,的两根,那么
x_1+x_2=-\frac{b}{a}x_1x_2=\frac{c}{a}

韦达定理的逆定理同样成立。仍然以一元二次方程為例:給定一個一元二次方程。如果有两个数,它們的和等于該方程的一次项系数除以二次项系数的相反数,它們的积又等于該方程的常数项除以二次项系数,那么它們就是該方程的兩根。

设关于x\,一元二次方程ax^2+bx+c=0\,,且
\alpha + \beta =-\frac{b}{a}\alpha \beta =\frac{c}{a}
\alpha\,\beta\,必定是一元二次方程ax^2+bx+c=0\,的两个根。

定理特例的证明[编辑]

x_1\,x_2\,一元二次方程ax^2+bx+c=0\, (a≠0)的两个解,且不妨令x_1 \ge x_2

证明一:根据求根公式,有

x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

所以

x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} =-\frac{b}{a}

x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac{c}{a}


证明二:方程两边同时除以a,有

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.........(1)

(x-x_1)(x-x_2) = 0,

展开得x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = 0.........(2)

∴对照式子(1)与(2),得 x_1+x_2=-\frac{b}{a}x_1x_2=\frac{c}{a}

定理的证明[编辑]

x_1\,,x_2\,,\cdots \,,x_n一元n次方程\sum_{m=1}^{n}a_mx^m + a_0 = 0,(n\ge 1, a_n\ne0)的n个解。

則有 \sum_{m=1}^{n}a_mx^m + a_0 = a_n \Pi_{m=1}^{n}(x-x_m)

乘法原理:

\begin{cases}
a_{n-1}=a_n\sum_{k=1}^{n}(-x_k) \\
a_{n-2}=a_n\sum_{m=1}^{n-1}(-x_m)\sum_{i>m}(-x_i) \\
a_{n-3}=a_n\sum_{m=1}^{n-2}(-x_m)\sum_{i>j>m}(x_ix_j) \\
\vdots \\
a_0=a_n\Pi_{k=1}^{n}(-x_k). 
\end{cases}

移項化簡后得:

\begin{cases}
\sum_{k=1}^{n}x_k = (-1)^1\,\frac{a_{n-1}}{a_n} \\
\sum_{m=1}^{n-1}x_m\sum_{i>m}x_i = (-1)^2\,\frac{a_{n-2}}{a_n} \\
\sum_{m=1}^{n-2}x_m\sum_{i>j>m}x_ix_j = (-1)^3\,\frac{a_{n-3}}{a_n} \\
\vdots \\
\Pi_{k=1}^{n}x_k = (-1)^n\,\frac{a_0}{a_n} . 
\end{cases}

参看[编辑]