韦达定理

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韦达定理（又叫一元二次方程的根与系数的关系，简称根系关系。）指出，一元二次方程的两根的和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根的积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。

设 $x 1$ ， $x 2$ 是一元二次方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 的两根，那么

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1x_2=\frac{c}{a}$

韦达定理的逆定理同样成立。它指出，如果有两个数的和，等于一个一元二次方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数，并且这两个数的积等于这个方程的常数项除以二次项系数所得的商，那么这两个数必定是这个一元二次方程的根。

设关于 $x$ 的一元二次方程为 $a x 2 + b x + c = 0$ ，且

$\alpha + \beta =-\frac{b}{a}$ ， $\alpha \beta =\frac{c}{a}$ ，

则 $α$ 、 $β$ 必定是一元二次方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 的两个根。

[编辑] 定理的证明

设 $x 1$ ， $x 2$ 是一元二次方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 的两个解，且不妨令 $x_1 \ge x_2$ 。根据求根公式，有

$x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ， $x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

所以

$x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} =-\frac{b}{a}$ ，

$x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac{c}{a}$

[编辑] 推广

韦达定理还可以推广到一元多次方程的情形。设

$P(X)=a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} +\cdots + a_1 X+ a_0$

是一个 $n\ge 1$ 次多项式，则有

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}$

[编辑] 参看

法兰西斯·韦达

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