音乐同构

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数学中,音乐同构Musical isomorphism典范同构 canonical isomorphism)是(黎曼流形 M切丛 TM余切丛 T^{*}M 之间的同构,这个同构由度量给出。一般地,只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式(比如辛流形上的辛形式)便可定义这样的同构。

这也称为指标的上升和下降,也是一种特殊的张量缩并

正式定义[编辑]

黎曼流形 M 的度量 g 是一个对称正定张量场 g \in \mathcal{T}_2^0(M):从而 g 是切丛上的对称双线性形式向量丛 S^2T^*M\, 的一个正定光滑截面。在任意一点 xMg_x\in S^2T^*_xM 定义了向量空间

\widehat{g}_x : T_x M \longrightarrow T^{*}_x M

之间的一个线性同构(从切空间到余切空间),对任何切向量 Xx 属于 TxM,由

\widehat{g}_x(X_x) = g(X_x,-)\ ,

给出,这意味着,

 \widehat{g}_x(X_x)(Y_x) = g_x(X_x,Y_x)\ .

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

\widehat{g} : TM \longrightarrow T^{*}M\ ,

这是一个特别的微分同胚,在每个切空间上线性。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 (U,x)下,设度量矩阵为 (g_{ij}),逆矩阵为 (g^{ij})。则这个同构可表示为

\widehat{g}:X=\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i} \mapsto \alpha^i g_{ij}d\,x^j \ .

这里使用了爱因斯坦求和约定X 是一个局部向量场。

这些同构称为降号音乐同构flat),而其逆称为升号sharp):升号上升指标,降号下降指标(Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。升号用局部坐标表示为:

\widehat{g}^{-1}:\xi=\alpha_i d\,x^i \mapsto \alpha_i g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j}\ .

这两个同构的实质是 g 为处处非退化的双线性形式,任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构,对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中,这个同构非常重要,哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来[编辑]

同构 \widehat{g} 与其逆 \widehat{g}^{-1} 称为“音乐同构”是因为它们将向量的指标向上、向下移动。例如,TM 中的向量写成

\alpha^i \frac{\partial}{\partial x^i}\ ,

而余向量写成 \alpha_i dx^i,所以指标 i\alpha 中向下、向上移动好似符号降号\flat)与升号\sharp)下降与上升一个半音音高Gallot,Hullin & Lafontaine 2004,p.75)。

梯度、散度与旋度[编辑]

音乐同构可以用来定义 \mathbb{R}^3光滑函数、向量场无坐标形式的梯度散度旋度


\begin{align}
      \nabla f        &= \left( {\mathbf d} f \right)^\sharp \\
      \nabla \cdot F  &= \star {\mathbf d} \left( \star F^\flat \right) \\
      \nabla \times F &= \left[ \star \left( {\mathbf d} F^\flat \right) \right]^\sharp
\end{align}

这里 \star霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999,p.135)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上,第一个等式便定义了以 f哈密顿量的哈密顿向量场。

此外,值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积外积联系起来,设 vw\mathbb{R}^3 中向量场,容易证明


\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \left[ \star \left( \mathbf{v}^\flat \wedge \mathbf{w}^\flat \right) \right]^\sharp.

参考文献[编辑]