音乐同构

在数学中，音乐同构（Musical isomorphism 或典范同构 canonical isomorphism）是（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 $T^{*}M$ 之间的同构，这个同构由度量给出。一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。

这也称为指标的上升和下降，也是一种特殊的张量缩并。

正式定义

黎曼流形 M 的度量 g 是一个对称、正定张量场 $g \in \mathcal{T}_2^0(M)$：从而 g 是切丛上的对称双线性形式向量丛 $S^2T^*M\,$ 的一个正定光滑截面。在任意一点 x∈M，$g_x\in S^2T^*_xM$ 定义了向量空间

$\widehat{g}_x : T_x M \longrightarrow T^{*}_x M$

之间的一个线性同构（从切空间到余切空间），对任何切向量 X_x 属于 T_xM，由

$\widehat{g}_x(X_x) = g(X_x,-)\ ,$

给出，这意味着，

$\widehat{g}_x(X_x)(Y_x) = g_x(X_x,Y_x)\ .$

这些线性映射的集合定义了一个丛同构

$\widehat{g} : TM \longrightarrow T^{*}M\ ,$

这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上线性。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 $(U,x)$下，设度量矩阵为 $(g_{ij})$，逆矩阵为 $(g^{ij})$。则这个同构可表示为

$\widehat{g}:X=\alpha^i\frac{\partial}{\partial x^i} \mapsto \alpha^i g_{ij}d\,x^j \ .$

这里使用了爱因斯坦求和约定，X 是一个局部向量场。

这些同构称为降号音乐同构（flat），而其逆称为升号（sharp）：升号上升指标，降号下降指标(Gallot，Hullin & Lafontaine 2004，p. 75)

。升号用局部坐标表示为：

$\widehat{g}^{-1}:\xi=\alpha_i d\,x^i \mapsto \alpha_i g^{ij}\frac{\partial}{\partial x^j}\ .$

这两个同构的实质是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。

名称由来

同构 $\widehat{g}$ 与其逆 $\widehat{g}^{-1}$ 称为“音乐同构”是因为它们将向量的指标向上、向下移动。例如，TM 中的向量写成

$\alpha^i \frac{\partial}{\partial x^i}\ ,$

而余向量写成 $\alpha_i dx^i$，所以指标 i 在 $\alpha$ 中向下、向上移动好似符号降号（$\flat$）与升号（$\sharp$）下降与上升一个半音的音高(Gallot，Hullin & Lafontaine 2004，p. 75)

。

梯度、散度与旋度

音乐同构可以用来定义 $\mathbb{R}^3$ 上光滑函数、向量场无坐标形式的梯度、散度与旋度：

$\begin{align} \nabla f &= \left( {\mathbf d} f \right)^\sharp \\ \nabla \cdot F &= \star {\mathbf d} \left( \star F^\flat \right) \\ \nabla \times F &= \left[ \star \left( {\mathbf d} F^\flat \right) \right]^\sharp \end{align}$

这里 $\star$ 是霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999，p. 135)

。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。

此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 $\mathbb{R}^3$ 中向量场，容易证明

$\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \left[ \star \left( \mathbf{v}^\flat \wedge \mathbf{w}^\flat \right) \right]^\sharp.$

参考文献

• Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry. 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag. 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 .
• Marsden, Jerrold E.; Raţiu, Tudor S., Introduction to Mechanics and Symmetry. 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .