項測試

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第n項測試the n-th term test for divergence)是數學上測試無窮級數是否發散的一個方式[1]

  • \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 或極限不存在,則 \sum_{n=1}^\infty a_n 發散。

許多數學書籍的作者沒有為上述的測試方式命名[2]

用途[编辑]

項測試和其他較強的收斂測試不同,此測試方式只能確認級數是否發散,不能確認級數是否收斂。若不符合此測試的條件,無法判定級數是收斂或是發散。例如:

  • \lim_{n \to \infty} a_n = 0,\sum_{n=1}^\infty a_n 可能收斂也可能發散,此條件下無法用此測試判定級數是否收斂。

調和級數就是不符合此測試的發散條件,卻又是發散級數的典型範例。調和級數是以下p級數的特例:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

配合項測試及其他測試,可得到以下的結果:

  • p ≤ 0,根據項測試可知此級數發散。
  • 若0 < p ≤ 1,根據項測試無法判定級數發散或收斂,根據積分判別法可判定此級數發散。
  • 若1 < p,根據項測試無法判定級數發散或收斂,根據積分判別法可判定此級數收斂。

證明[编辑]

要證明此測試法,一般都會證明其相反位置(contrapositive)形式;

  • \sum_{n=1}^\infty a_n收斂,則\lim_{n \to \infty} a_n = 0.

利用極限證明[编辑]

sn 是級數的部份和,則上述對數列的假設可推得

\lim_{n\to\infty} s_n = s

因此可得[3]

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0.

柯西判別法[编辑]

級數收斂的假設表示級數可以滿足柯西判別法的測試:對任意\varepsilon>0均存在一數字N使得

|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon

在所有n > Np ≥ 1的條件下均成立。令p = 1,即可得到[4]

\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

應用範圍[编辑]

項測試最簡單的版本可以用在實數的無窮級數中。上述的二個證明也可以在適用在賦範向量空間[5]

腳註[编辑]

  1. ^ Kaczor p.336
  2. ^ 如Rudin (p.60)只提到其相反位置(contrapositive)的形式,沒有命名。Brabenec (p.156)稱此測試為nth term test。Stewart (p.709)稱此測試為Test for Divergence
  3. ^ Brabenec p.156; Stewart p.709
  4. ^ Rudin (pp.59-60)也使用此證明的概念,但用另一種陳述柯西判別法的方式
  5. ^ Hansen p.55; Șuhubi p.375

參考資料[编辑]

  • Brabenec, Robert. Resources for the study of real analysis. MAA. 2005. ISBN 0883857375. 
  • Hansen, Vagn Lundsgaard. Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. 2006. ISBN 9812565639. 
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. 2003. ISBN 0821820508. 
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis 3e. McGraw-Hill. 1976 [1953]. ISBN 0-07-054235-X. 
  • Stewart, James. Calculus: Early transcendentals 4e. Brooks/Cole. 1999. ISBN 0-534-36298-2. 
  • Șuhubi, Erdoğan S. Functional Analysis. Springer. 2003. ISBN 1402016166.