顫動

顫動(德語：Zitterbewegung；英語：jitter/oscillatory movement)是一種理論上螺旋的或圓形的基本粒子運動，尤其是電子，因而產生了它們所具有的自旋與磁矩。如此運動的存在是由埃爾温·薛丁格於1930年首次提出，這是出於他對自由空間中相對論性電子的狄拉克方程式波包解的分析結果，其中正與負的能態間的干涉產生了看起來是以光速繞著中央的位置變動，其角頻率為$2 m c^2 / \hbar \,\!$或用頻率表示為大約1.6×10²¹赫茲。

不幸地，顫動現象從未被觀察到。最可能的解釋是顫動實際上不存在，而僅只是單一粒子量子力學的人工產物；事實上，近期由Krekora等人的研究成果(Phys. Rev. Lett., v. 93, 043004-1, 2004)，基於二次量子化量子理論（適合描述多粒子量子動力學的理論）顯示出：「量子場論禁止一顆電子顫動現象的出現。」

Krekora等人亦將他們量子場論的數值模擬用在描述另一個具有爭議性（且某種程度相關）的現象，稱作克萊因悖論。

推導

時間相依的薛丁格方程式

$H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) \,\!$

其中$H \,\!$是針對自由空間中一顆電子的狄拉克方程式哈密頓算符

$H = \left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \,\!$

影射任意算符Q遵守方程式

$-i \hbar \frac{\partial Q}{\partial t} (t)= \left[ H , Q \right] \,\!\;$。

其中特別是位置算符的時間相依性為

$\hbar \frac{\partial x_k}{\partial t} (t)= i\left[ H , x_k \right] = \alpha_k \,\!\;.$

上面的方程式顯示算符$\alpha_k$可被詮釋為一「速度算符」的第k 分量。

速度算符的時間相依性則為

$\hbar \frac{\partial \alpha_k}{\partial t} (t)= i\left[ H , \alpha_k \right] = 2ip_k-2i\alpha_kH \,\!\;.$

現在因為$p_k$與$H$兩者皆與時間無關，上面的方程式可以很容易地被積分兩次，以找出位置算符外顯的時間相依性：

$x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + {1 \over 2 } i \hbar c H^{-1} ( \alpha_k (0) - c p_k H^{-1} ) ( e^{-2 i H t / \hbar } - 1 ) \,\!$

其中$x_k(t) \,\!$是在時間$t \,\!$的位置算符。

以上所得的式子包括了初始位置$x_k(0)$，與時間成比例關係的等速度運動$c^2 p_k H^{-1} t$，以及一個意想不到的振動項，其振幅等於康普頓波長。振動項則是所謂的「顫動」。

有趣的是，若波包完全是正能量波或者完全是負能量波所組成時，對波包取期望值則「顫動」項會消失。因此，我們可以得到「顫動」是來自於「正能量與負能量波成份之間的干涉」這樣的詮釋。

參考文獻

• 原始論文：E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik ("On the free movement in relativistic quantum mechanics"), Berliner Ber., pp. 418-428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)

• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950-952 (1962)

外部連結

• （英文）The Zitterbewegung Interpretation of Quantum Mechanics，在正負能態干涉造成顫動之外的另一種解釋。