餘代數

在數學中，餘代數是帶單位元的結合代數的對偶結構，後者的公理由一系列交換圖給出，將這些圖中的箭頭反轉，便得到餘代數的公理。

餘代數的概念可用於李群及群概形等領域中。

定義

形式上來說，域 $K$ 上的餘代數是一個 $K$-向量空間 $C$ 及 $K$-線性映射 $\Delta : C \to C \otimes_K C$（餘乘法）與 $\epsilon : C \to K$（餘單位元），使得：

1. $(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$
2. $(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$.

等價的說法是：以下圖表交換：

在第一個圖表中，我們等同了 $C\otimes (C\otimes C)$ 與 $(C \otimes C)\otimes C$；同理，在第二個圖表中，我們等同了 $C$、$C\otimes K$ 與 $K\otimes C$。

第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本，稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。

Sweedler 記法

處理餘代數時，以下記法可以大大地簡化式子，稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 $(C, \Delta, \epsilon)$ 中的一個元素 $c$，存在一族元素 $c_{(1)}^i, c_{(2)}^i \in C$，使得

$\Delta(c)=\sum_i c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.$

在 Sweedler 記法中，上式寫作

$\Delta(c)=\sum_{(c)} c_{(1)}\otimes c_{(2)}.$

舉例明之，餘單位元 $\epsilon$ 之公理可表成

$c=\sum_{(c)} \epsilon(c_{(1)})c_{(2)} = \sum_{(c)} c_{(1)}\epsilon(c_{(2)}).\;$

餘乘法 $\Delta$ 則可表成

$\sum_{(c)}c_{(1)}\otimes\left(\sum_{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right) = \sum_{(c)}\left( \sum_{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right) \otimes c_{(2)}.$

在 Sweedler 記法中，這些式子都被寫作

$\sum_{(c)} c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.$

一些作者會省略求和符號，此時 Sweedler 記法表成

$\Delta(c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}$

與

$c=\epsilon(c_{(1)})c_{(2)} = c_{(1)}\epsilon(c_{(2)}).\;$

相關文獻

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0