餘代數

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數學中,餘代數是帶單位元的結合代數的對偶結構,後者的公理由一系列交換圖給出,將這些圖中的箭頭反轉,便得到餘代數的公理。

餘代數的概念可用於李群群概形等領域中。

定義[编辑]

形式上來說,域 K 上的餘代數是一個 K-向量空間 CK-線性映射 \Delta : C \to C \otimes_K C(餘乘法)與 \epsilon : C \to K(餘單位元),使得:

  1. (\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta
  2. (\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta.

等價的說法是:以下圖表交換:

Coalg.png

在第一個圖表中,我們等同了 C\otimes (C\otimes C)(C \otimes C)\otimes C;同理,在第二個圖表中,我們等同了 CC\otimes KK\otimes C

第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本,稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。

Sweedler 記法[编辑]

處理餘代數時,以下記法可以大大地簡化式子,稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 (C, \Delta, \epsilon) 中的一個元素 c,存在一族元素 c_{(1)}^i, c_{(2)}^i \in C,使得

\Delta(c)=\sum_i c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.

在 Sweedler 記法中,上式寫作

\Delta(c)=\sum_{(c)} c_{(1)}\otimes c_{(2)}.

舉例明之,餘單位元 \epsilon 之公理可表成

c=\sum_{(c)} \epsilon(c_{(1)})c_{(2)} = \sum_{(c)} c_{(1)}\epsilon(c_{(2)}).\;

餘乘法 \Delta 則可表成

\sum_{(c)}c_{(1)}\otimes\left(\sum_{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right) = \sum_{(c)}\left( \sum_{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right) \otimes c_{(2)}.

在 Sweedler 記法中,這些式子都被寫作

\sum_{(c)} c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.

一些作者會省略求和符號,此時 Sweedler 記法表成

\Delta(c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}

c=\epsilon(c_{(1)})c_{(2)} = c_{(1)}\epsilon(c_{(2)}).\;

相關文獻[编辑]

  • Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0