馬克士威應力張量

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。
詹姆斯·馬克士威

電磁學裏,馬克士威應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況,例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場,應用勞侖茲力定律,就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是,當遇到稍微複雜一點的狀況時,這很普通的程序會變得非常困難,方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此,物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內,然後使用張量數學來解析問題。

導引[编辑]

為了方便參考,先列出馬克士威方程組

馬克士威方程組(國際單位制
名稱 微分形式
高斯定律 \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}
高斯磁定律 \boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} = 0
法拉第感應定律 \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
馬克士威-安培定律 \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\

其中,\mathbf{E}電場\mathbf{B}磁場\rho電荷密度\mathbf{J}電流密度\varepsilon_0電常數\mu_0磁常數

從勞侖茲力定律開始,一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 \mathbf{f}

\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}

應用高斯定律和馬克士威-安培定律,把電荷密度和電流密度替換掉,只讓電場和磁場出現於方程式:

\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}

應用乘積法則和法拉第感應定律:

\frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{E}\times\mathbf{B}) = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} + \mathbf{E} \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times \mathbf{B} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})

稍加編排,將 \mathbf{f} 寫為

\begin{align}\mathbf{f} &  = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) - \epsilon_0 \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \\
 & = \epsilon_0\left[  (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] +   \frac{1}{\mu_0} \left[  -   \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right)  \right]
 - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right) \\
\end{align}

為了使 \mathbf{E} 的項目 \mathbf{B} 的項目能夠相互對稱,加入一個 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 項目:

\mathbf{f}= \epsilon_0\left[  (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} - \mathbf{E} \times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}) \right] +   \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B})\mathbf{B}  -   \mathbf{B}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right)  \right]
 -  \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)

應用向量恆等式,對於任意向量 \mathbf{A}

\mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=\tfrac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} A^2  - (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}

\mathbf{f} 的方程式內的旋度項目除去:

\mathbf{f} = \epsilon_0\left[  (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \right] - \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right)
 -  \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)

這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量 \mathbf{S}

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}

設定馬克士威應力張量  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}} (以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量):

T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0}  \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)

其中,\delta_{ij}克羅內克函數

定義一個向量 \mathbf{A} 與馬克士威應力張量  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}內積

(\mathbf{A}\cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}})_j=\textstyle{\sum_i}\ A_i T_{ij}

那麼,一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 \mathbf{f}

\mathbf{f} = \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}} - \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}

馬克士威應力張量的性質[编辑]

馬克士威應力張量是一個對稱張量,表達為

T_{ij} = \left( \begin{matrix}
\epsilon_0(E_x^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x^2 - B^2 /2)   &  \epsilon_0 E_x E_y +\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z)  \\
\epsilon_0 E_x E_y+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_y) & \epsilon_0(E_y^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y^2 - B^2 /2) & \epsilon_0 E_y E_z +\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z)  \\
\epsilon_0 E_x E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_x B_z)  & \epsilon_0 E_y E_z+\cfrac{1}{\mu_0}(B_y B_z) & \epsilon_0(E_z^2 - E^2 /2)+\cfrac{1}{\mu_0}(B_z^2 - B^2 /2)  
\end{matrix} \right)

馬克士威應力張量的單位是牛頓公尺2。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為,朝著 i-軸方向,施加於 j-軸的垂直平面,單位面積的作用力;對角元素代表負壓力,非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力(拖拉力)作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力,在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。

動量守恆定律[编辑]

在一個體積 \mathcal{V} 內的電荷,所感受到的總作用力 \mathbf{F}

\mathbf{F}=\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{f}\mathrm{d}\tau=\int_{\mathcal{V}}\ \nabla \cdot \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\mathrm{d}\tau - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau

應用散度定理,可以得到

\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{S}}\  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \epsilon_0 \mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau

其中,\mathcal{S} 是體積 \mathcal{V} 的閉合表面。

根據牛頓第二定律

\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

其中,\mathbf{p} 是動量。

所以,電荷的動量 \mathbf{p}_{charge} 可以表達為

\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{charge}}{\mathrm{d}t}=\oint_{\mathcal{S}}\  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a} - \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_{em}}{\mathrm{d}t}

其中,\mathbf{p}_{em}=\epsilon_0 \mu_0\oint_{\mathcal{V}}\ \mathbf{S}\mathrm{d}\tau 是儲存於電磁場的動量(坡印廷向量 \mathbf{S} 是由電場和磁場組成的一個複合向量)。

稍加編排,可以得到動量守恆定律的積分方程式:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{p}_{charge}+\mathbf{p}_{em})=\oint_{\mathcal{S}}\  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}

動量守恆定律闡明,一個體積的總動量(電荷的動量加上電磁場的動量)的增加速率等於每秒鐘流入閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量   -  \stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}} 是一個動量通量密度。

動量守恆定律也能以微分形式表達為

\frac{\partial}{\partial t}(\mathfrak{p}_{charge} +\mathfrak{p}_{em})=\nabla\cdot\stackrel{\longleftrightarrow}{\mathbf{T}}

其中,\mathfrak{p}_{charge} 是電荷的動量密度,\mathfrak{p}_{em} 是電磁場的動量密度。

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]