馬德隆常數

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NaCl的結構

在一個晶體內,其中一個離子的總電勢能,可表示為它與距離最近的另一個離子的電勢能的M倍,E = M E_0,其中E_0為兩個離子的系統的電勢能,E_0 = -\frac{z^2 e^2}{4 \pi \epsilon_o r_0}M稱為馬德隆常數(Madelung constant),其值與晶體結構有關。

在固體離子化合物內,正離子和負離子互相吸引,將離子分開需要能量。

晶體 結構 配位 M
CsCl 體心立方 8:8 1.763
NaCl 面心立方 6:6 1.748
纖鋅礦
(ZnS, Wurtzite)
4:4 1.641
閃鋅礦
(ZnS, Zinc blende)
4:4 1.638
螢石
(CaF2, Florite)
8:4 2.520
金紅石
(TiO2, Rutile)
6:3 2.408

計算[编辑]

對於面心立方結構(如NaCl),M的值看來可用下面的級數計算:

M = \sum_{i,j,k=-\infty}^{\infty}\prime {{(-1)^{i+j+k}} \over { (i^2 + j^2 + k^2)^{1/2}}} (1),

撇號表示i=j=k=0的一項不在計算範圍。

計算M的值

以類球形的晶體來逼近:

\lim_{N \to \infty} \sum_{i^2+j^2+k^2 < N} \prime {{(-1)^{i+j+k}} \over { (i^2 + j^2 + k^2)^{1/2}}} , (2)

以立方形的晶體來逼近:

\lim_{n \to \infty} \sum_{ -n < i,j,k < n} \prime {{(-1)^{i+j+k}} \over { (i^2 + j^2 + k^2)^{1/2}}} , (3)

(1)不是嚴格收歛的。其中(2)是發散的。

參考[编辑]