馬爾可夫方程

不定方程 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3 x_1 x_2 x_3$ 稱為馬爾可夫方程。

求解方法如下：

先憑觀察找出 $(x_1, x_2, x_3) = (1,1,1)$ 這組解。
方程可視為一個 $x_3$ 為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知 $(x_1, x_2, 3 x_1 x_2 - x_3)$ 　（留意 $3 x_1 x_2 - x_3 = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}$ ）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（Markov number），它們由小到大是：

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （OEIS:A002559）

它們組成的解是：

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數的特性 [编辑]

馬爾可夫方程的解

馬爾可夫數可以排成一棵二元樹（如圖）。

在二元樹上，和1的範圍相鄰的數（即2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數（斐波那契數的定義為 $F_0 = 0, F_1 = 1 , F_{n} := F_{n-1}+F_{n-2}$ ，即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, 89...）。這是說 $(1, F_{2n-1}, F_{2n + 1})$ 都是此方程的解。