馬爾可夫方程

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不定方程x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3 x_1 x_2 x_3稱為馬爾可夫方程

求解方法如下:

  • 先憑觀察找出(x_1, x_2, x_3) = (1,1,1)這組解。
  • 方程可視為一個x_3為未知數的一元二次方程。根據韋達定理,可知(x_1, x_2, 3 x_1 x_2 - x_3) (留意3 x_1 x_2 - x_3 = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_3})也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上,用這個方法由(1,1,1)開始,可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數(Markov number),它們由小到大是:

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... (OEIS:A002559

它們組成的解是:

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數的特性[编辑]

馬爾可夫方程的解

馬爾可夫數可以排成一棵二元樹(如圖)。

在二元樹上,和1的範圍相鄰的數(即2, 5, 13, 34, 89, ...),都是相隔的斐波那契數(斐波那契數的定義為F_0 = 0, F_1 = 1 , F_{n} := F_{n-1}+F_{n-2},即1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, 89...)。這是說(1, F_{2n-1}, F_{2n + 1})都是此方程的解。

和2的範圍鄰接的數(即1, 5, 29, 169, ...)也有相似的特質:它們都是相隔的佩爾數(佩爾數的定義為P_0 = 0, P_1 = 1 , P_{n} := 2 P_{n-1} + P_{n-2},即1, 2, 5, 12, 29, 70, 169... )。

猜想[编辑]

每個數只在樹上出現一次(即沒有正整數z使得(a, b, z), (c, d, z)都是方程的解,其中a,b,c,d是兩兩相異的正整數,且a>b>z, c>d>z)。

赫爾維茨方程[编辑]

馬爾可夫-赫爾維茨方程(Markoff-Hurwitz equation),是指形式如x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = a x_1 x_2 ... x_n的不定方程,其中a,n是正整數。

赫爾維茨證明方程有(0, ..., 0)之外的解唯若a \le n

參考[编辑]