馮·曼戈爾特函數

馮·曼戈爾特函數$\Lambda(n)$是一個算術函數，它出現在質數定理的研究中，以提出的19世紀數學家漢斯·馮·曼戈爾特命名。

若$n$是質數冪，$\Lambda(n)$則等於該個質數的自然對數，即$\Lambda(p^k) = \log(p)$。若$n$不是質數冪，$\Lambda(n)=0$。

關於這個函數的恆等式：

$\sum_{d|n} \Lambda(n) = \log(n)$

$\Lambda(n) = \mu * \log = \sum_{d|n} \mu(d) \log(\frac{n}{d})$ （參見狄利克雷卷積）

$\Lambda(n) \log(n) + \sum_{d|n} \Lambda(d) \Lambda(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \mu(d) \log^2 \frac{n}{d}$

參考

• Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976