马施克定理

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Heinrich Maschke

代数中,马施克定理有限群表示论中基本的定理之一。

定理[编辑]

VK上的有限维线性空间(V, \rho)有限群G表示, U_0VG不变子空间, K特征不能整除G

则存在V中的G不变子空间W,使得V=W\oplus U,从而(V, \rho)完全可约的。

证明[编辑]

U_0V的子空间,所以存在U_0V中的补空间W_0,及投影P_0, Q_0,使得

U_0=P_0V

W_0=Q_0V

P_0^2-P_0=Q_0^2-Q_0=P_0Q_0=Q_0P_0=0

P_0+Q_0=1

由条件“K的特征不能整除G的阶”,令N=|G|,则N是域K中的可逆元。

定义新的投影算子

P=N^{-1}\sum_{g\in G}gP_0 g^{-1}

Q=N^{-1}\sum_{g\in G}gQ_0 g^{-1}

P+Q=1

P^{2}=P

Q^{2}=Q

PQ=QP=0

于是

V=U\oplus W

其中 U=\textrm{Im}{P}W=\textrm{Im}{Q}

P的定义 U=\textrm{Im}P \subseteq U_0

另一方面可以直接验证 \forall u=P_0v \in U_0, Q u=QP_0v=0 从而 U_0 \subseteq \textrm{Ker}Q=\textrm{Im}P=U

U=U_0

V=U_0\oplus W

注意到\forall g \in G, gQ=Qg

WG不变子空间。

证毕。

参考[编辑]